問題
を2以上の自然数とする．1つのさいころを回投げ，第1回目から第回目までに出た目の最大公約数をとする．
(1) となる確率をの式で表せ．
(2) の期待値をの式で表せ．
出典：大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
各出目は なので， となる場合は「すべての出目が の倍数である」ことから出発し，より大きい公約数になってしまう場合を除く。(1)の は出目がすべて のいずれかで，かつすべて ではない場合である。(2)は の場合の数を順に数え，総数 で割って期待値 を作る。
解答
(1)
となるためには， 回の出目がすべて3の倍数でなければならない。さいころの目で3の倍数は の2つである。ただし，すべての出目が6である場合は最大公約数が6になるので除かなければならない。
したがって， となる出方は 通りである。全事象は 通りなので である。
(2)
の値ごとに出方の数を数える。 となるのは，すべての出目が6のときだけなので1通りである。同様に， となるのはすべて5のときだけ， となるのはすべて4のときだけであり，それぞれ1通りである。
(1)より， となる出方は 通りである。
次に を数える。すべての出目が2の倍数，すなわち のいずれかでなければならない。この条件を満たす出方は 通りである。ただし，すべて4のときは ，すべて6のときは になるので除く。よって である。
残りが であるから，その出方の数は
である。
したがって期待値 は
である。よって である。
別解。 を「すべての出目が の倍数である出方の数」とする。すると である。最大公約数がちょうど である出方の数を とすると，上から順に
であり， となる。これを に代入しても，同じ期待値 を得る。