問題
平面において，放物線をとする．また，実数を与えたとき，で定まる直線をとする．
(1) の範囲でとが2点で交わるとき，の満たす条件を求めよ．
(2) が(1)の条件を満たすとき，とおよび2直線，で囲まれた3つの部分の面積の和をの式で表せ．
出典：大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1)は交点の 座標を2次方程式 の2根として扱う。放物線 の軸は で区間 内にあるため，2根が区間内に入る条件は，判別式が正で，右端 で正になることを中心に整理できる。左端 の条件は結果的に弱いが，答案では確認しておく。(2)は3つの部分の面積の和を， における の積分として表す。根の間では直線が上，根の外側では放物線が上なので，全体積分に根の間の面積を2回加える形で計算する。
解答
(1)
交点の 座標は すなわち の根である。2点で交わるためには判別式が正でなければならないので である。
また， は下に凸で，軸は であり，これは の範囲に入っている。2根がともに に入るためには，区間の両端で であればよい。実際，軸が区間内にあり判別式が正なら，端点で正であることにより2つの根は端点の内側にある。
端点での値は である。したがって が必要であり，このうち強い条件は である。判別式の条件と合わせて である。
(2)
(1)の条件のもとで， の2根を とする。このとき である。また は で起こり，それ以外では である。
求める3つの部分の面積の和は である。まず符号を無視した積分は
である。
次に， における直線と放物線の間の面積を求める。 だから であり，
である。
絶対値積分では，根の間の負の部分を正に反転するので，符号なしの全体積分にこの面積を2回加えればよい。したがって
である。よって である。