大阪大学 2003年度
文系数学 第3問

解答

放物線を $f(x)=-x^2+2x+1$ とおく。$x$ 軸との交点は $-x^2+2x+1=0$ より $a=1-\sqrt{2},b=1+\sqrt{2}$ である。

直線 $y=mx$ との交点の $x$ 座標 $\alpha ,\beta$ は $-x^2+2x+1=mx$ すなわち $x^2+(m-2)x-1=0$ の2解である。したがって $\alpha \beta =-1,\beta =-\frac{1}{\alpha }$ であり、$\alpha <0<\beta$ である。また $\alpha +\beta =2-m$ だから $m=2-\alpha +\frac{1}{\alpha }$ である。$m=0$ のときは $\alpha =a$、$\beta =b$ であり、問題では $m\ne 0$ である。

まず $m>0$ の場合を考える。このとき $\alpha <a<0<\beta <b$ である。左側の面積を $S_L$、右側の面積を $S_R$ とすると $S_L={\int }_{\alpha }^a\{f(x)-mx\}dx+{\int }_a^0(-mx)dx$ であり、$S_R={\int }_0^{\beta }mxdx+{\int }_{\beta }^{b}f(x)dx$ である。

ここで $\beta =-1/\alpha$、$m=2-\alpha +1/\alpha$ を代入して整理すると

となる。したがって $S_L=S_R$ となるためには ${\alpha }^6+3{\alpha }^4+16\sqrt{2}{\alpha }^3+3{\alpha }^2+1=0$ であればよい。この左辺は

と因数分解できる。最後の因子は常に正である。$m>0$ では $\alpha <a=1-\sqrt{2}$ なので、許される根は $\alpha =-(1+\sqrt{2})$ だけである。このとき

次に $m<0$ の場合を考える。このとき $a<\alpha <0<b<\beta$ である。面積は $S_L={\int }_a^{\alpha }f(x)dx+{\int }_{\alpha }^{0}mxdx$ および $S_R={\int }_0^b(-mx)dx+{\int }_b^{\beta }\{f(x)-mx\}dx$ である。同じく $\beta =-1/\alpha$、$m=2-\alpha +1/\alpha$ を用いると

となる。等面積条件から同じ方程式を得るが、その実数根のうち最後の正因子以外から出るものは $\alpha =1-\sqrt{2},\alpha =-(1+\sqrt{2})$ である。前者は $m=0$ に対応し、後者は $a<\alpha <0$ を満たさない。したがって $m<0$ では解はない。

以上より、求める値は $\boxed{m=4}$ である。