大阪大学 2003年度文系数学第1問解答・解説

問題

平面ベクトル $p = (p_{1}, p_{2})$ ， $q = (q_{1}, q_{2})$ に対して ${p, q} = p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}$ と定める．

(1) 平面ベクトル $a$ ， $b$ ， $c$ に対して

{a, b} = l, {b, c} = m, {c, a} = n

とするとき

l c + m a + n b = 0

が成り立つことを示せ．

(2) (1)で $l$ ， $m$ ， $n$ がすべて正であるとする．このとき任意の平面ベクトル $d$ は0以上の実数 $r$ ， $s$ ， $t$ を用いて

d = r a + s b + t c

と表すことができることを示せ．

出典：大阪大学 2003年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

(1) は記号 ${p, q}$ が2次元の面積を表す交代的な式であることを踏まえ、まず成分で展開して2成分とも0になることを示す。(2) は $l > 0$ から $a, b$ が平行でないことを使って任意の $d$ を $x a + y b$ と表し、(1) の関係式で $c$ を足す量を十分大きくして係数を非負に直す。

解答

(1)

a = (a_{1}, a_{2}), b = (b_{1}, b_{2}), c = (c_{1}, c_{2})

とおく。このとき $l = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}, m = b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}, n = c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}$ である。

まず第1成分を調べると

l c_{1} + m a_{1} + n b_{1} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) c_{1} + (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) a_{1} + (c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}) b_{1} = a_{1} b_{2} c_{1} - a_{2} b_{1} c_{1} + a_{1} b_{1} c_{2} - a_{1} b_{2} c_{1} + a_{2} b_{1} c_{1} - a_{1} b_{1} c_{2} = 0.

同様に第2成分は

l c_{2} + m a_{2} + n b_{2} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) c_{2} + (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) a_{2} + (c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}) b_{2} = a_{1} b_{2} c_{2} - a_{2} b_{1} c_{2} + a_{2} b_{1} c_{2} - a_{2} b_{2} c_{1} + a_{2} b_{2} c_{1} - a_{1} b_{2} c_{2} = 0.

したがって

l c + m a + n b = 0

が成り立つ。

(2)

$l > 0$ であるから、 ${a, b} \neq = 0$ であり、 $a, b$ は平行でない。よって任意の平面ベクトル $d$ は、ある実数 $x, y$ を用いて $d = x a + y b$ と表せる。

また (1) より

l c + m a + n b = 0

であり、 $l > 0$ だから $c = - \frac{m}{l} a - \frac{n}{l} b$ である。ここで $m / l > 0$ 、 $n / l > 0$ である。 $t$ を十分大きい0以上の実数に取り、 $r = x + \frac{m}{l} t ≧ 0, s = y + \frac{n}{l} t ≧ 0$ となるようにする。例えば $t ≧ max (0, - \frac{l x}{m}, - \frac{l y}{n})$ とすればよい。このとき

r a + s b + t c = (x + \frac{m}{l} t) a + (y + \frac{n}{l} t) b + t (- \frac{m}{l} a - \frac{n}{l} b) = x a + y b = d .

したがって、任意の $d$ は0以上の実数 $r, s, t$ を用いて

d = r a + s b + t c

と表せる。

大阪大学 2003年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2003年度
文系数学第1問