大阪大学 1995年度文系数学第3問解答・解説

問題

原点を $O$ とし，曲線 $y = x^{3}$ 上の $O$ とは異なる2点を $P (a, a^{3})$ ， $Q (b, b^{3})$ とする． $a \neq = \pm b$ のとき，次の問に答えよ．

(1) 放物線 $y = f (x)$ が3点 $O$ ， $P$ ， $Q$ を通るように2次式 $f (x)$ を定めよ．

(2) 積分 $\int_{0}^{a} {x^{3} - f (x)} d x$ の値が0となるとき， $b$ を $a$ で表せ．

出典：大阪大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$O$ を通る放物線なので $f (x) = u x^{2} + v x$ と置く。 $P, Q$ を通る条件から $u, v$ を決める。(2)は直接積分してもよいが、 $x^{3} - f (x)$ が $x = 0, a, b$ を根にもつ三次式であることも使える。積分値を $a^{3} (2 b - a) /12$ まで整理し、 $a \neq = 0$ より $b = a /2$ を得る。

解答

(1)

放物線は原点 $O$ を通るので $f (x) = u x^{2} + v x$ とおける。点 $P (a, a^{3})$ を通ることから $u a^{2} + v a = a^{3}$ であり、 $a \neq = 0$ なので $u a + v = a^{2}$ である。同様に、点 $Q (b, b^{3})$ を通ることから $u b + v = b^{2}$ である。 $a \neq = b$ であるから、2式を引いて $u = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a - b} = a + b$ を得る。これを $u a + v = a^{2}$ に代入して $v = a^{2} - a (a + b) = - ab$ である。したがって $f (x) = (a + b) x^{2} - ab x$ である。

(2)

(1)より $x^{3} - f (x) = x^{3} - (a + b) x^{2} + ab x = x (x - a) (x - b)$ である。したがって $\int_{0}^{a} {x^{3} - f (x)} d x = \int_{0}^{a} {x^{3} - (a + b) x^{2} + ab x} d x$ であり、右辺は

\frac{a ^{4}}{4} - \frac{( a + b ) a ^{3}}{3} + \frac{ab a ^{2}}{2} = \frac{3 a ^{4} - 4 a ^{4} - 4 a ^{3} b + 6 a ^{3} b}{12} = \frac{a ^{3} ( 2 b - a )}{12}

である。

点 $P$ は $O$ と異なるので $a \neq = 0$ である。よって積分値が $0$ となる条件は $2 b - a = 0$ であり、 $b = \frac{a}{2}$ である。この値は $a \neq = 0$ のもとで $b \neq = a$ かつ $b \neq = - a$ を満たすので、問題の条件にも反しない。

別解。(2)では因数分解を先に使うと見通しがよい。 $y = x^{3}$ と $y = f (x)$ は $x = 0, a, b$ で交わるから、最高次係数を比べて $x^{3} - f (x) = x (x - a) (x - b)$ である。よって $\int_{0}^{a} x (x - a) (x - b) d x$ を計算すればよい。展開して積分すると同じく $\frac{a ^{3} ( 2 b - a )}{12}$ となり、 $b = a /2$ を得る。

大阪大学 1995年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1995年度
文系数学第3問