大阪大学 1995年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において，平面 $z = 0$ 上に原点を中心とする半径1の円があり，点 $P$ はこの円の周上を動く．点 $P$ と点 $(0, 0, 2)$ を通る直線が平面 $x + y + z = - 2$ と交わる点を $Q$ とする．点 $Q$ の $z$ 座標の最大値と最小値を求めよ．

出典：大阪大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

円周上の点を $P = (cos θ, sin θ, 0)$ とおき、点 $(0, 0, 2)$ から $P$ へ向かう直線を媒介変数で表す。平面 $x + y + z = - 2$ との交点条件から $Q$ の $z$ 座標を $u = cos θ + sin θ$ の関数に直し、 $- 2 ≦ u ≦ 2$ と単調性で最大・最小を決める。

解答

点 $(0, 0, 2)$ を $A$ とおく。 $P$ は $z = 0$ 上の単位円周上を動くので $P = (cos θ, sin θ, 0)$ と表せる。

直線 $A P$ 上の点は、実数 $λ$ を用いて $(x, y, z) = (0, 0, 2) + λ (cos θ, sin θ, - 2)$ と書ける。これが平面 $x + y + z = - 2$ 上にある条件は $λ cos θ + λ sin θ + 2 - 2 λ = - 2$ である。したがって $λ (2 - cos θ - sin θ) = 4$ となる。ここで $cos θ + sin θ ≦ 2 < 2$ なので分母は正であり、 $λ = \frac{4}{2 - ( c o s θ + s i n θ )}$ である。

よって $Q$ の $z$ 座標は $z = 2 - 2 λ = 2 - \frac{8}{2 - ( c o s θ + s i n θ )}$ である。ここで $u = cos θ + sin θ$ とおくと $- 2 ≦ u ≦ 2$ であり、 $z = 2 - \frac{8}{2 - u}$ である。この関数は $\frac{d}{d u} (2 - \frac{8}{2 - u}) = - \frac{8}{( 2 - u ) ^{2}} < 0$ だから、 $u$ が小さいほど $z$ は大きい。

したがって最大値は $u = - 2$ のとき $2 - \frac{8}{2 + 2} = 42 - 6$ であり、最小値は $u = 2$ のとき $2 - \frac{8}{2 - 2} = - 6 - 42$ である。

大阪大学 1995年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

大阪大学 1995年度
文系数学第2問