大阪大学 1994年度
文理共通数学 文系第2問・理系第2問

解答

(1)

点$Q$は $Q=\left(a,\frac{a^3}{\sqrt{3}}\right)$ であり，直線$l$は原点と$Q$を通る。したがって直線$l$の傾きは $\frac{a^3/\sqrt{3}}{a}=\frac{a^2}{\sqrt{3}}$ である。

一方，曲線 $y=\frac{x^3}{\sqrt{3}}$ の導関数は $y^{\prime }=\sqrt{3}{x}^2$ なので，点$Q$における接線の傾きは $\sqrt{3}{a}^2$ である。

入射方向の角を$\varphi$，接線方向の角を$\tau$とする。反射後の進行方向は$y$軸と平行であり，第1象限側へ進むのでその方向の角は$\pi /2$である。入射角と反射角が等しいから，接線方向は入射方向と反射方向の角の二等分方向である。よって $2\tau =\varphi +\frac{\pi }{2}$ となる。

ここで $\tan \varphi =\frac{a^2}{\sqrt{3}},\tan \tau =\sqrt{3}{a}^2$ である。上の角の関係より

である。一方，二倍角の公式から $\tan 2\tau =\frac{2\tan \tau }{1-{\tan }^2\tau }=\frac{2\sqrt{3}{a}^2}{1-3a^4}$ である。したがって $\frac{2\sqrt{3}{a}^2}{1-3a^4}=-\frac{\sqrt{3}}{a^2}$ となる。$a>0$なので両辺を整理して $2a^4=3a^4-1$ すなわち $a^4=1$ を得る。よって $a=1$ である。

別解。傾きではなくベクトルで反射を表してもよい。入射方向のベクトルを $\vec{u}=\left(1,\frac{a^2}{\sqrt{3}}\right)$ とし，接線方向のベクトルを $\vec{v}=(1,\sqrt{3}{a}^2)$ とする。直線$\vec{v}$に関して$\vec{u}$を反射したベクトルは $2\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}\vec{v}-\vec{u}$ の向きになる。反射後が鉛直方向であるためには，このベクトルの$x$成分が$0$であればよい。したがって $2\frac{1+a^4}{1+3a^4}-1=0$ であり，これより $2+2a^4=1+3a^4$ となる。よって同じく$a^4=1$，すなわち$a=1$を得る。

(2)

$a=1$のとき，直線$l$は原点と$(1,1/\sqrt{3})$を通るので $y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ である。$0<x<1$では $\frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{x^3}{\sqrt{3}}=\frac{x(1-x^2)}{\sqrt{3}}>0$ だから，直線が上，曲線が下である。

したがって囲まれる図形の面積は

である。よって

となる。求める面積は $\frac{\sqrt{3}}{12}$ である。