問題
どのような自然数に対してもが常にで割りきれるような整数，の組はかつ（ただしは自然数）の範囲に全体で何組あるか．その個数をで表せ．
出典：大阪大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
和の公式でを表し，がすべての自然数で整数になる条件へ直す。分母はなので，分子が常にとで割り切れる条件を別々に調べる。での条件はをの倍数にしたときにを強制し，での条件はが常に偶数であること，すなわちが偶数であることを強制する。最後にからまでのの偶奇を数える。
解答
求める和を とおく。公式
より である。したがって である。よって，すべての自然数でがで割り切れるためには がすべての自然数での倍数になればよい。
まずで割った余りを見る。は常にの倍数なので，必要なのは が常にの倍数になることである。を代入すると であり，はで割り切れない。したがって が必要である。逆にがの倍数なら，この部分はすべてのでの倍数になる。
次にで割った余りを見る。は偶数であり，，だから である。これがすべての自然数で偶数になるには，が奇数になる場合，たとえばを考えて が必要である。逆にが偶数なら，はすべてので偶数である。
以上より条件は である。
ここでのうち，の倍数は の個である。このうち奇数は個，偶数も個である。またのうち，奇数と偶数はいずれも個である。
条件が偶数であるためには，の偶奇が一致すればよい。したがって求める組の個数は である。よって 組である。