大阪大学 1988年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x$ ， $y$ が $x ≧ 0$ ， $y ≧ 0$ ， $x^{3} + y^{3} = 1$ を満たしながら変わるとき， $x + y$ がとりうる値の範囲を求めよ．

出典：大阪大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

$s = x + y$ とおき、 $x^{3} + y^{3} = 1$ を $s$ と $x y$ で表す。下限は非負性から $(x + y)^{3} ≧ x^{3} + y^{3}$ を使い、上限は $x y ≦ \frac{( x + y ) ^{2}}{4}$ を使う。等号成立の点を必ず確認して、得た不等式が単なる必要条件ではなく実際の値域であることを示す。別解として $x^{3} = t$ による1変数化でも最大・最小を確認できる。

解答

$s = x + y$ とおく。 $x ≧ 0, y ≧ 0$ だから $s ≧ 0$ であり、 $s^{3} = (x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y) = 1 + 3 x y s ≧ 1$ である。したがって $s ≧ 1$ を得る。等号は $x y = 0$ のときであり、条件 $x^{3} + y^{3} = 1$ と合わせると $(x, y) = (1, 0), (0, 1)$ で実現する。

次に上限を求める。相加相乗平均より $x y ≦ (\frac{x + y}{2})^{2} = \frac{s ^{2}}{4}$ である。 $x^{3} + y^{3} = s^{3} - 3 x y s$ だから $1 = s^{3} - 3 x y s ≧ s^{3} - 3 \cdot \frac{s ^{2}}{4} \cdot s = \frac{s ^{3}}{4} .$ よって $s^{3} ≦ 4, s ≦ 34$ である。等号は $x = y$ のときに成り立つ。このとき $2 x^{3} = 1$ から $x = y = 3 \frac{1}{2}$ であり、実際に $x + y = 2 3 \frac{1}{2} = 34$ となる。

以上より、 $x + y$ がとりうる値の範囲は $1 ≦ x + y ≦ 34$ である。

【別解】 $x^{3} = t$ とおくと、 $0 ≦ t ≦ 1$ であり、 $y^{3} = 1 - t$ だから $x + y = t^{1/3} + (1 - t)^{1/3}$ となる。端点では値は1である。内点 $0 < t < 1$ で微分すると

\frac{d}{d t} {t^{1/3} + (1 - t)^{1/3}} = \frac{1}{3 t ^{2/3}} - \frac{1}{3 ( 1 - t ) ^{2/3}}

であり、これは $t = \frac{1}{2}$ で0になる。 $0 < t < \frac{1}{2}$ では正、 $\frac{1}{2} < t < 1$ では負なので、最大は $t = \frac{1}{2}$ で $(\frac{1}{2})^{1/3} + (\frac{1}{2})^{1/3} = 34$ である。したがって同じ範囲を得る。

大阪大学 1988年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

大阪大学 1988年度
文系数学第2問