大阪大学 1988年度文系数学第1問解答・解説

問題

$p$ ， $q$ ， $r$ は整数とし，正の整数 $n$ に対し $a_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (p k^{2} + 2 q k + r)$ とおく．

(1) $m$ ， $n$ が相異なる正の整数であるとき， $\frac{a _{m} - a _{n}}{m - n}$ を求めよ．

(2) すべての相異なる正の整数 $m$ ， $n$ に対して $\frac{a _{m} - a _{n}}{m - n}$ が整数であるならば， $p$ は6で割り切れることを示せ．

出典：大阪大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

まず和の公式で $a_{n}$ を $n$ の2次式に直す。差商は2次関数の差商として $m + n$ だけに依存する形になる。(2)では「すべての相異なる正の整数」という条件を使い、特定の $(m, n)$ を代入して分母6に現れる $2$ と $3$ の条件を取り出す。1組だけで示す方法に加え、2組を比較して偶数条件と3の倍数条件を分けて読む別解も確認する。

解答

(1)

定義式の中の和を先に計算する。よく知られた和の公式

k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}

を用いると

a_{n} = \frac{1}{n} (p \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + 2 q \frac{n ( n + 1 )}{2} + r n) = \frac{p ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + q (n + 1) + r .

これを $n$ について整理すれば

a_{n} = \frac{p}{3} n^{2} + (\frac{p}{2} + q) n + (\frac{p}{6} + q + r)

である。したがって、 $m \neq = n$ のとき定数項は差で消え、

\frac{a _{m} - a _{n}}{m - n} = \frac{p}{3} \frac{m ^{2} - n ^{2}}{m - n} + (\frac{p}{2} + q) \frac{m - n}{m - n} = \frac{p}{3} (m + n) + \frac{p}{2} + q = \frac{( 2 m + 2 n + 3 ) p}{6} + q .

よって求める値は $\frac{p}{3} (m + n) + \frac{p}{2} + q$ である。

(2)

(1)の結果に $m = 1, n = 3$ を代入する。この2つは相異なる正の整数なので、仮定により $\frac{a _{1} - a _{3}}{1 - 3} = \frac{p}{3} (1 + 3) + \frac{p}{2} + q = \frac{11 p}{6} + q$ は整数である。ここで $q$ は整数だから、 $\frac{11 p}{6}$ も整数でなければならない。すなわち $6 ∣ 11 p$ である。 $6$ と $11$ は互いに素なので、ユークリッドの互除法、または素因数分解より $6 ∣ p$ が従う。よって $p$ は6で割り切れる。

【別解】分母6を一度に見る代わりに、2の条件と3の条件を分けて取り出すこともできる。 $m = 1, n = 2$ を代入すると $\frac{a _{1} - a _{2}}{1 - 2} = \frac{3 p}{2} + q$ が整数であるから、 $q$ が整数であることより $\frac{3 p}{2}$ は整数、したがって $p$ は偶数である。次に $m = 1, n = 2$ と $m = 1, n = 3$ で得られる2つの整数値の差をとると

(\frac{4 p}{3} + \frac{p}{2} + q) - (p + \frac{p}{2} + q) = \frac{p}{3}

も整数である。よって $p$ は3で割り切れる。 $p$ は偶数かつ3の倍数であるから、 $p$ は6で割り切れる。

大阪大学 1988年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1988年度
文系数学第1問