大阪大学 1982年度
文系数学 第4問

解答

三角形 $OAB$ の辺の長さを求める。 $O=(0,0,0),A=(1,\sqrt{3},0),B=(4,0,0)$ であるから $OA=2,OB=4,AB=2\sqrt{3}.$ 三角形の面積は $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$ であり、半周長は $\frac{2+4+2\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}$ である。したがって内接円の半径を $\rho$ とすると $\rho =\frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1.$ 次に内心を求める。内心は各頂点を向かい側の辺の長さで重みづけした平均であるから、$xy$ 座標を $(h,k)$ とすると $h=\frac{2\sqrt{3}\cdot 0+4\cdot 1+2\cdot 4}{2\sqrt{3}+4+2}=3-\sqrt{3},$ $k=\frac{2\sqrt{3}\cdot 0+4\cdot \sqrt{3}+2\cdot 0}{2\sqrt{3}+4+2}=\sqrt{3}-1.$ よって内接円の中心は $(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,0)$ である。

球の中心を $(h,k,z_0)$、半径を $R$ とする。$xy$ 平面による切り口の半径が $\rho$ なので $R^2-z_0^2={\rho }^2.$ また、球は $z$ 軸に接する。中心から $z$ 軸までの距離は $\sqrt{h^2+k^2}$ であるから $R^2=h^2+k^2.$ ここで $h=3-\sqrt{3},k=\sqrt{3}-1$ なので $h^2+k^2=4(\sqrt{3}-1{)}^2.$ したがって $R=2(\sqrt{3}-1).$ さらに $z_0^2=R^2-{\rho }^2=4(\sqrt{3}-1{)}^2-(\sqrt{3}-1{)}^2=3(\sqrt{3}-1{)}^2.$ よって $z_0=\pm \sqrt{3}(\sqrt{3}-1)=\pm (3-\sqrt{3}).$ したがって球の中心は $(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,3-\sqrt{3})$ または $(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,-3+\sqrt{3})$ であり、半径は $2(\sqrt{3}-1)$ である。

別解の視点

切り口の円の半径 $\rho$ と球の半径 $R$ は別物である。$xy$ 平面から球の中心までの距離が $|z_0|$ なので、直角三角形の関係 $R^2=z_0^2+{\rho }^2$ を使うと混乱しにくい。