問題
放物線上の1点をとする．この放物線上にと異なる点をとり，線分，軸および2直線，とで囲まれた台形の面積を，この放物線が2等分するようにしたい．そのような点でを満たすものが存在するためのの範囲を求めよ．またそのときをで表せ．
出典：大阪大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
弦 の方程式をまず求める。台形全体の面積は弦の下の面積、放物線で分けられる下側の面積は放物線の下の面積なので、二等分条件は「弦の下の面積が放物線の下の面積の2倍」と書ける。積分後に で割ると の2次方程式になり、実数条件と を調べる。
解答
点 を結ぶ直線を求める。放物線 上の2点を結ぶ弦の傾きは である。したがって弦 の方程式は すなわち である。
ここで とする。線分 、 軸、直線 、 で囲まれる台形の面積は である。この台形を放物線が2等分するためには、放物線の下の面積が台形全体の半分になればよい。したがって が条件である。
左辺は であり、整理すると である。右辺は
で割ると これを整理すると これを について解くと 実数解をもつには すなわち が必要である。
さらに を調べる。もし なら を選んでも なので となる。もう一方の符号ではさらに小さいため、 を満たさない。
一方、 のとき、二つの値 はいずれも を満たす。実際、 なので であり、 から、マイナスの方でも である。
したがって、そのような点 が存在するための の範囲は である。このとき の二つが条件を満たす。
別解の視点
台形の面積を公式で出すこともできるが、弦の下の面積として積分で書くと、放物線下の面積との比較が同じ形になり、二等分条件を立てやすい。