大阪大学 1981年度
文系数学 第3問

解答

(1)

$y=x(x-1)(x-a)=x^3-(a+1)x^2+ax$ であるから、原点 $O$ における接線は $l:y=ax$ である。

接線と曲線の交点は $x(x-1)(x-a)=ax$ を満たす。左辺を整理すると $x\{(x-1)(x-a)-a\}=x\{x^2-(a+1)x\}=x^2(x-a-1)$ である。したがって、原点以外の交点は $a\ne -1$ のとき $P=(a+1,a(a+1))$ である。点 $Q$ は $Q=(a+1,0)$ だから、三角形 $OPQ$ の面積は $S_1=\frac{1}{2}|(a+1)a(a+1)|=\frac{|a|(a+1{)}^2}{2}$ である。

また、接線と曲線の縦の差は $ax-x(x-1)(x-a)=x^2(a+1-x)$ である。したがって曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる図形の面積は $S_2=\left|{\int }_0^{a+1}{x}^2(a+1-x)dx\right|$ である。積分すると

となるので $S_2=\frac{(a+1{)}^4}{12}$ である。

(2)

問題の条件で $O$ 以外の点 $P$ が存在するから、$a\ne -1$ である。$S_1=S_2$ より $\frac{|a|(a+1{)}^2}{2}=\frac{(a+1{)}^4}{12}$ である。$a\ne -1$ なので $(a+1{)}^2$ で割れて、$6|a|=(a+1{)}^2$ を得る。 $a>0$ のときは $6a=(a+1{)}^2$ であり、$a^2-4a+1=0$ となる。よって $a=2\pm \sqrt{3}$ である。 $a<0$ のときは $-6a=(a+1{)}^2$ であり、$a^2+8a+1=0$ となる。よって $a=-4\pm \sqrt{15}$ である。これらはいずれも $a\ne 0$, $a\ne -1$ を満たす。

したがって求める値は $a=2\pm \sqrt{3},a=-4\pm \sqrt{15}$ である。

別解。

$S_2$ は接線と曲線が原点で接しているため、差が $x^2(a+1-x)$ のように原点で2重に消える形になる。したがって面積は、再交点の横座標 $a+1$ の4乗に比例し、実際に $(a+1{)}^4/12$ となる。これを先に見抜くと、面積方程式は $|a|$ と $(a+1{)}^2$ の比較にすぐ落ちる。