大阪大学 1981年度
文系数学 第2問

解答

(1)

$f_i$ の次数を $d_i$ とする。どちらも定数でないので $d_1\geqq 1,d_2\geqq 1$ である。

多項式の合成では次数が積になるから $\mathrm{deg}(f_i\circ f_j)=d_i{d}_j$ である。一方、仮定より $f_i\circ f_j$ は $f_1$ または $f_2$ に一致するので、その次数は $d_1$ または $d_2$ のどちらかである。 $D=\max (d_1,d_2)$ とする。もし $D\geqq 2$ なら、次数 $D$ の多項式を自分自身と合成したものの次数は $D^2$ である。しかし合成結果は $f_1$ または $f_2$ のどちらかなので次数は高々 $D$ でなければならない。これは $D^2>D$ に反する。したがって $D=1$ であり、$d_1=d_2=1$ である。

(2)

(1) より $f_1,f_2$ は1次式であり、さらに $f_1(1)=f_2(1)=1$ だから $f_1(x)=\alpha (x-1)+1,f_2(x)=\beta (x-1)+1$ と表せる。ただし定数でないので $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$ である。

この形の1次式を合成すると、傾きの部分は積になる。実際、$\{\alpha (x-1)+1\}\circ \{\beta (x-1)+1\}=\alpha \beta (x-1)+1$ である。したがって ${\alpha }^2,\alpha \beta ,{\beta }^2$ はいずれも $\alpha$ または $\beta$ に等しくなければならない。

まず $\alpha =\beta$ のとき、${\alpha }^2=\alpha$ である。かつ $\alpha \ne 0$ なので $\alpha =1$ である。したがって $f_1(x)=f_2(x)=x$ を得る。

次に $\alpha \ne \beta$ とする。$\alpha \beta$ は $\alpha$ または $\beta$ に等しい。もし $\alpha \beta =\alpha$ なら $\beta =1$、もし $\alpha \beta =\beta$ なら $\alpha =1$ である。たとえば $\beta =1$ の場合、${\alpha }^2$ は $\alpha$ または $1$ である。$\alpha \ne 1$ なので ${\alpha }^2=\alpha$ は不可能であり、${\alpha }^2=1$ から $\alpha =-1$ である。$\alpha =1$ の場合も同様に $\beta =-1$ である。

以上より、求める組は $(f_1(x),f_2(x))=(x,x),(2-x,x),(x,2-x)$ である。

別解。

(2) は傾きの集合 $A=\{\alpha ,\beta \}$ だけを見ると、$A$ が ${\alpha }^2,\alpha \beta ,{\beta }^2$ を再び $A$ の中に戻す、という有限集合の問題になる。非零実数でこの条件を満たす1個または2個の集合は、$\{1\}$ と $\{1,-1\}$ だけである。したがって上と同じ3組が得られる。