岡山大学 2025年度文理共通数学第1問（理系2）解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(1)　方程式

$3 x + 11 y = 1$

の整数解の $1$ つを求めよ．

(2)　方程式

$3 x + 11 y = 1000$

の整数解をすべて求めよ．

(3)　 $x, y$ が(2)の方程式の整数解であるとする． $∣ x - y ∣$ の最小値と，そのときの $x, y$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2025年度前期文理共通第1問

(1)(2) は一次不定方程式の標準処理で一般解を出す。(3) は $x - y$ をパラメータの一次式で表し，0に最も近くなる整数パラメータを選ぶ。

$3 \cdot 4 + 11 \cdot (- 1) = 1$ であるから，整数解の一つは

(x, y) = (4, - 1)

である。

(1)より $(4000, - 1000)$ は $3 x + 11 y = 1000$ の整数解である。したがって

3 (x - 4000) + 11 (y + 1000) = 0

であり， $3$ と $11$ は互いに素だから，整数 $t$ を用いて

x = 4000 + 11 t, y = - 1000 - 3 t

と表される。逆にこの形の $x, y$ はすべて $3 x + 11 y = 1000$ を満たすので，求める整数解は

(x, y) = (4000 + 11 t, - 1000 - 3 t) (t は整数)

である。

(2)の一般解について

x - y = 5000 + 14 t

である。 $t$ は整数なので， $5000 + 14 t$ を0に最も近くするには， $- \frac{5000}{14} = - 357 - \frac{1}{7}$ に最も近い整数 $t = - 357$ を選べばよい。このとき

∣ x - y ∣ = ∣5000 - 4998∣ = 2

であり，

(x, y) = (73, 71)

である。よって最小値は $2$ ，そのとき $x = 73, y = 71$ である。