岡山大学 2025年度文理共通数学第1問（理系）解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(1)　方程式

$3 x + 11 y = 1$

の整数解の $1$ つを求めよ．

(2)　方程式

$3 x + 11 y = 1000$

の整数解をすべて求めよ．

(3)　自然数 $x, y$ が(2)の方程式を満たすとする． $∣ x - y ∣$ の最大値と，そのときの $x, y$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2025年度前期文理共通第1問

$3 x + 11 y = 1$ の一つの整数解を見つけ，それを1000倍して (2) の特殊解にする。一般解を整数パラメータで表し，(3) では自然数条件からパラメータの範囲を絞って $∣ x - y ∣$ の端点を比べる。

$3 \cdot 4 + 11 \cdot (- 1) = 1$ であるから，整数解の一つは

(x, y) = (4, - 1)

である。

(1)の両辺を1000倍すると， $(x, y) = (4000, - 1000)$ は $3 x + 11 y = 1000$ の整数解である。したがって

3 (x - 4000) + 11 (y + 1000) = 0

である。 $3$ と $11$ は互いに素であるから，整数 $t$ を用いて

x = 4000 + 11 t, y = - 1000 - 3 t

と表される。逆にこの形の $x, y$ はすべて $3 x + 11 y = 1000$ を満たす。よって求める整数解は

(x, y) = (4000 + 11 t, - 1000 - 3 t) (t は整数)

である。

自然数条件より

4000 + 11 t > 0, - 1000 - 3 t > 0

であるから， $- 363 ≦ t ≦ - 334$ である。また

x - y = 5000 + 14 t

である。したがってこの範囲の端で調べればよく，

t = - 363 のとき ∣ x - y ∣ = 82, t = - 334 のとき ∣ x - y ∣ = 324

となる。よって最大値は $324$ であり，そのとき

(x, y) = (326, 2)

である。