問題
数直線上を動く点がある．点は，原点を出発して，枚のコインを回投げるごとに，表が出たら数直線上を正の向きにだけ進み，裏が出たら数直線上を負の向きにだけ進むものとする．コインの表が出る確率と裏が出る確率はともにであるとし，コインを回投げ終えた時点での点の座標をとする．コインを回投げるとき，以下の問いに答えよ．
(1) となる確率を求めよ．
(2) かつとなる確率を求めよ．
(3) かつとなる確率を求めよ．
方針
解法1（標準解法）
(1)(2)は表の回数で数え、(2)はを余事象として引く。(3)は時刻と位置を状態にし、区間から出る経路をその時点で捨てる。
解法2（2歩ごとの漸化式）
偶数時刻には位置が偶数なので、許される状態はだけになる。2回の投擲を1組とし、位置間の遷移数を数える2状態の漸化式で、10歩後に原点へ戻る経路数を求める。
解答
解法1（標準解法）
(1)
となるには，10回のうち表が5回，裏が5回出ればよい。したがって求める確率は
である。
(2)
まず となる列は 通りである。このうち となるには，最初の5回で表が3回，裏が2回出て，残り5回で表が2回，裏が3回出ればよい。したがってそのような列は
通りである。よって求める確率は
である。
(3)
時刻 に座標 にいる経路数を数える。ただし途中では のものだけを残す。各時刻の経路数は次のようになる。
最後に となるには，時刻9で にいる34通りから裏が出ればよい。したがって求める確率は
である。
解法2（2歩ごとの漸化式）
(1)
10回後に原点へ戻るには表と裏が5回ずつ必要である。全事象は通りなので
(2)
となる252通りのうち、となるものを除く。最初の5回は表3回、後半の5回は表2回であるから、除く経路数は
よって
(3)
条件を満たし、回後に位置にいる経路数をそれぞれとする。奇数時刻の位置はだけなので、2歩を一組にすればこの2状態で閉じる。
位置0からは
が各1通りである。位置2から位置0へは
の1通り、位置2へ戻るのは
の2通りである。したがって
初期値はであり、
となる。よって10回後に原点へ戻る有効経路は34通りで、求める確率は
各2歩遷移の中間点もに収まるものだけを列挙しているので、途中条件も満たしている。