岡山大学 2022年度理系数学第4問解答・解説

問題

$- 1 < x < 1$ に対して

$f (x) = lo g (1 + x) + lo g (1 - x) - x lo g (1 - x)$

とおく．ただし，対数は自然対数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $- 1 < x < 1$ のとき， $f^{'} (x) ≧ 0$ であることを示せ．

(2)　 $- 1 < x < 1,$ $x \neq = 0$ のとき， $\frac{f ( x )}{x} > 0$ であることを示せ．

(3)　 $n$ が $2$ 以上の整数のとき，不等式

$(\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}})^{n + 1} < \frac{n - 1}{n} < (\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}})^{n}$

が成り立つことを示せ．

出典：岡山大学 2022年度前期理系第4問

方針

まず $f^{'} (x)$ を計算し，さらに $g (x) = f^{'} (x)$ の増減を調べて $f^{'} (x) ≧ 0$ を示す。(2)は $f (0) = 0$ と単調増加性から従う。(3)は $x = 1/ n$ として，(2)を $x$ と $- x$ に適用し，対数をとった不等式に直す。

解答

(1)

f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{1 - x} - lo g (1 - x) + \frac{x}{1 - x} = - \frac{x}{1 + x} - lo g (1 - x)

である。 $g (x) = f^{'} (x)$ とおくと

g^{'} (x) = - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} + \frac{1}{1 - x} = \frac{x ( x + 3 )}{( 1 - x ) ( 1 + x ) ^{2}}

である。 $- 1 < x < 0$ では $g^{'} (x) < 0$ ， $0 < x < 1$ では $g^{'} (x) > 0$ であり， $g (0) = 0$ である。したがって $- 1 < x < 1$ で

f^{'} (x) = g (x) ≧ 0

である。

(2)

$f (0) = 0$ であり，(1)より $f (x)$ は $- 1 < x < 1$ で増加する。また $x \neq = 0$ では $f^{'} (x) > 0$ となる区間を通るので， $x > 0$ なら $f (x) > 0$ ， $x < 0$ なら $f (x) < 0$ である。よって

\frac{f ( x )}{x} > 0

である。

(3)

$x = 1/ n$ とおくと， $0 < x < 1$ である。(2)より $f (x) > 0$ だから

lo g (1 - x^{2}) - x lo g (1 - x) > 0

である。したがって

lo g (1 - x) < \frac{1}{x} lo g (1 - x^{2})

であり，これは

\frac{n - 1}{n} < (\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}})^{n}

を意味する。

また (2)より $f (- x) < 0$ であるから

lo g (1 - x^{2}) + x lo g (1 + x) < 0

である。これは

lo g (1 - x) + (1 + x) lo g (1 + x) < 0

と同値であり，さらに

(\frac{1}{x} + 1) lo g (1 - x^{2}) < lo g (1 - x)

と同値である。 $x = 1/ n$ を戻すと

(\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}})^{n + 1} < \frac{n - 1}{n}

である。以上より

(\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}})^{n + 1} < \frac{n - 1}{n} < (\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}})^{n}

が成り立つ。

岡山大学 2022年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2022年度
理系数学第4問