岡山大学 2022年度理系数学第3問解答・解説

問題

$l$ を正の実数とし，四面体 $O A B C$ において，各辺の長さを

$O A = \frac{1}{2} l,$ $O B = O C = l,$ $A B = C A = l,$ $B C = 2 l$

とする． $O A = a,$ $O B = b,$ $O C = c$ とし，点 $H$ は $O H = \frac{3}{4} a + \frac{1}{8} b + \frac{1}{8} c$ を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　点 $H$ は $3$ 点 $A,$ $B, C$ が定める平面上に存在することを示せ．

(2)　 $∣ O H ∣$ の値を求めよ．

(3)　 $∠ O H B$ の大きさを求めよ．

(4)　四面体 $O A B C$ の体積 $V$ を求めよ．

出典：岡山大学 2022年度前期理系第3問

与えられた辺の長さから $a, b, c$ の内積を求める。 $H$ は係数和が1なので平面ABC上にあり， $∣ O H ∣$ と角度は内積で計算する。体積は $O H$ が平面ABCに垂直であることを内積で確認し，底面積と高さから求める。

O H = \frac{3}{4} a + \frac{1}{8} b + \frac{1}{8} c

であり，係数の和は

\frac{3}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 1

である。したがって $H$ は3点 $A, B, C$ が定める平面上に存在する。

辺の長さより

∣ a ∣ = \frac{l}{2}, ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = l

である。また $A B = l, C A = l, B C = 2 l$ から

a \cdot b = \frac{l ^{2}}{8}, a \cdot c = \frac{l ^{2}}{8}, b \cdot c = 0

を得る。よって

∣ O H ∣^{2} = \frac{3}{4} a + \frac{1}{8} b + \frac{1}{8} c^{2} = \frac{7}{32} l^{2}

である。したがって

∣ O H ∣ = \frac{14}{8} l

である。

$h = O H$ とおく。すると

h \cdot b = \frac{3}{4} a \cdot b + \frac{1}{8} b \cdot b + \frac{1}{8} c \cdot b = \frac{7}{32} l^{2}

であり，(2)より $h \cdot h = 7 l^{2} /32$ である。したがって

H O \cdot H B = (- h) \cdot (b - h) = - h \cdot b + h \cdot h = 0

である。よって

∠ O H B = \frac{π}{2}

である。

同様に $h \cdot a = h \cdot c = 7 l^{2} /32$ であるから， $O H$ は $H A, H B, H C$ のいずれにも垂直である。よって $O H$ は平面 $A B C$ に垂直で，四面体の高さである。

三角形 $A B C$ は $A B = A C = l, B C = 2 l$ なので， $∠ B A C = π /2$ である。したがって底面積は $l^{2} /2$ である。ゆえに体積は

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{l ^{2}}{2} \cdot \frac{14}{8} l = \frac{14}{48} l^{3}

である。