岡山大学 2021年度理系数学第4問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対して，関数 $f (x) = x^{2 n}$ を考える． $t > 0$ に対して，曲線 $y = f (x)$ 上の $3$ 点

$A (- t, f (- t)),$ $O (0, 0),$ $B (t, f (t))$

を通る円の中心を $(p (t), q (t)),$ 半径を $r (t)$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　極限 $lim_{t \to + 0} p (t),$ $lim_{t \to + 0} q (t),$ $lim_{t \to + 0} r (t)$ がすべて収束するとき $n = 1$ であることを示せ．また，このとき $a = lim_{t \to + 0} p (t),$ $b = lim_{t \to + 0} q (t),$ $c = lim_{t \to + 0} r (t)$ の値を求めよ．

(2)　 $a,$ $b, c$ を(1)で求めたものとする．このとき，中心 $(a, b),$ 半径 $c$ の円と放物線 $y = x^{2}$ および直線 $x = b$ で囲まれた図形を， $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ．

出典：岡山大学 2021年度前期理系第4問

方針

3点が $y$ 軸対称にあるので円の中心は $y$ 軸上にある。中心と半径を $t, n$ で表して極限を調べる。(2)は得られた円の下側の弧と放物線に挟まれる部分を回転させ，ワッシャー法で積分する。

解答

(1)

曲線 $y = x^{2 n}$ は $y$ 軸に関して対称であり，点 $A, B$ も $y$ 軸に関して対称である。したがって，3点を通る円の中心は $y$ 軸上にあり，

p (t) = 0

である。

中心を $(0, q (t))$ とする。点 $O$ と点 $B (t, t^{2 n})$ までの距離が等しいので

q (t)^{2} = t^{2} + (t^{2 n} - q (t))^{2}

である。これより

2 q (t) t^{2 n} = t^{2} + t^{4 n}

となるから

q (t) = \frac{t ^{2 - 2 n} + t ^{2 n}}{2}

である。また半径は

r (t) = q (t)

である。

$n = 1$ のとき

q (t) = r (t) = \frac{1 + t ^{2}}{2}

であり， $t \to + 0$ でともに $1/2$ に収束する。 $n ≧ 2$ のときは $t^{2 - 2 n} \to + \infty$ であるから， $q (t), r (t)$ は収束しない。よって，3つの極限がすべて収束するとき

n = 1

であり，このとき

a = 0, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{2}

である。

(2)

(1)より円は

x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

である。放物線 $y = x^{2}$ とこの円は原点で接し，直線 $x = b = 1/2$ によって囲まれる部分は

0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}

で，放物線 $y = x^{2}$ と円の下側の弧

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - x^{2}

に挟まれる部分である。

したがって回転体の体積は

V = π \int_{0}^{1/2} ⎩ ⎨ ⎧ (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - x^{2})^{2} - x^{4} ⎭ ⎬ ⎫ d x

である。ここで

(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - x^{2})^{2} = \frac{1}{2} - x^{2} - \frac{1}{4} - x^{2}

であり，

\int_{0}^{1/2} \frac{1}{4} - x^{2} d x = \frac{π}{16}

である。よって

V = π (\frac{1}{4} - \frac{1}{24} - \frac{π}{16} - \frac{1}{160}) = \frac{97 π}{480} - \frac{π ^{2}}{16}

である。

岡山大学 2021年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

岡山大学 2021年度
理系数学第4問