岡山大学 2021年度理系数学第2問解答・解説

問題

$z$ は複素数で， $z \neq = 0,$ $z \neq = \pm 1$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上の $3$ 点 $A (1),$ $B (z),$ $C (z^{2})$ が一直線上にあるための $z$ についての必要十分条件を求めよ．

(2)　複素数平面上の $3$ 点 $A (1),$ $B (z),$ $C (z^{2})$ が $∠ C$ を直角とする直角三角形の $3$ 頂点になるような $z$ 全体の表す図形を複素数平面上に図示せよ．

(3)　複素数平面上の $3$ 点 $A (1),$ $B (z),$ $C (z^{2})$ が直角三角形の $3$ 頂点になるような $z$ 全体の表す図形を複素数平面上に図示せよ．

出典：岡山大学 2021年度前期理系第2問

一直線上は $(z^{2} - 1) / (z - 1) = z + 1$ が実数である条件にする。直角条件は，2つの複素数の比が純虚数になることを用い，それぞれの頂点での条件を $z = x + y i$ の軌跡に直す。

$z \neq = 1$ より，

\frac{z ^{2} - 1}{z - 1} = z + 1

である。3点 $A (1), B (z), C (z^{2})$ が一直線上にあるための必要十分条件は， $A B$ と $A C$ の比が実数であることである。したがって

z + 1 が実数

であればよい。よって求める条件は

z は実数，かつ z \neq = 0, \pm 1

である。

$z = x + y i$ とおく。角 $C$ が直角であるための必要十分条件は

\frac{1 - z ^{2}}{z - z ^{2}}

が純虚数であることである。ここで

\frac{1 - z ^{2}}{z - z ^{2}} = \frac{( 1 - z ) ( 1 + z )}{z ( 1 - z )} = 1 + \frac{1}{z}

であるから，実部が0であればよい。すなわち

1 + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} = 0

である。よって

x^{2} + y^{2} + x = 0

となり，

(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

である。ただし $z = 0, - 1$ は除く。したがって図形は，中心 $(- 1/2, 0)$ ，半径 $1/2$ の円から点 $0, - 1$ を除いたものである。

直角が $A$ にあるとき，

\frac{z ^{2} - 1}{z - 1} = z + 1

が純虚数であるから， $z + 1$ の実部は0である。したがって $x = - 1$ である。ただし $z = - 1$ は除く。

直角が $B$ にあるとき，

\frac{z ^{2} - z}{1 - z} = - z

が純虚数であるから

x = 0

である。ただし $z = 0$ は除く。

直角が $C$ にあるときは(2)より

(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

であり， $z = 0, - 1$ を除く。

したがって求める図形は，

x = 0 (z \neq = 0), x = - 1 (z \neq = - 1),

および

(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4} (z \neq = 0, - 1)

の和集合である。