岡山大学 2019年度理系数学第4問解答・解説

問題

座標平面において線分 $L : y = x$ $(0 ≦ x ≦ 1)$ ，曲線 $C : y = x^{2} - x + 1$ $(0 ≦ x ≦ 1)$ および $y$ 軸で囲まれた図形を $D$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $C$ 上の点 $P (t, t^{2} - t + 1)$ から $L$ に下ろした垂線と $L$ の交点を $Q$ とする．線分 $O Q$ の長さ $u$ を $t$ で表せ．ただし $O$ は原点とする．

(2)　(1)の $P, Q$ について線分 $P Q$ の長さを $t$ を用いて表せ．

(3)　図形 $D$ を直線 $y = x$ のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期理系第4問

直線 $y = x$ に沿う座標 $u$ と，その直線からの距離を使う。点 $P$ の射影から $u$ と $P Q$ を求め，回転体の体積は軸に垂直な断面の半径を積分して求める。 $y$ 軸側の境界も断面半径に現れるため， $u$ の範囲を2つに分ける。

点 $P (t, t^{2} - t + 1)$ を直線 $y = x$ に正射影した点が $Q$ である。直線 $y = x$ の方向の単位ベクトルは $\frac{1}{2} (1, 1)$ であるから，

u = O Q = \frac{t + ( t ^{2} - t + 1 )}{2} = \frac{t ^{2} + 1}{2}

である。

点 $(X, Y)$ から直線 $y = x$ までの距離は $\frac{∣ Y - X ∣}{2}$ である。したがって

P Q = \frac{∣ t ^{2} - t + 1 - t ∣}{2} = \frac{( 1 - t ) ^{2}}{2}

である。

直線 $y = x$ からの距離を半径として，軸に垂直な断面を考える。 $0 ≦ u ≦ \frac{1}{2}$ では断面の端は $y$ 軸上にあり，半径は $u$ である。 $\frac{1}{2} ≦ u ≦ 2$ では曲線 $C$ 上の点で決まり，(1)(2)より

u = \frac{t ^{2} + 1}{2}, 半径 = \frac{( 1 - t ) ^{2}}{2} (0 ≦ t ≦ 1)

である。よって体積 $V$ は

V = π \int_{0}^{1/ 2} u^{2} d u + π \int_{0}^{1} {\frac{( 1 - t ) ^{2}}{2}}^{2} \frac{d u}{d t} d t

である。ここで $\frac{d u}{d t} = 2 t$ だから

V = π \cdot \frac{1}{6 2} + π \int_{0}^{1} \frac{( 1 - t ) ^{4}}{2} 2 t d t

である。また

\int_{0}^{1} t (1 - t)^{4} d t = \frac{1}{30}

より

V = π (\frac{2}{12} + \frac{2}{60}) = \frac{2 π}{10}

である。