岡山大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

$A$ と $B$ の二人がじゃんけんをする． $1$ 回ごとに，勝った方は $2$ 点，負けた方は $0$ 点，あいこの場合はどちらも $1$ 点ずつを得るものとする． $n$ 回目のじゃんけんを終えた時点での $A$ の得点の合計を $a_{n}, B$ の得点の合計を $b_{n}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $a_{3} = 3$ となる確率を求めよ．

(2)　 $a_{5} = 5$ となる確率を求めよ．

(3)　 $a_{5} ≧ b_{5}$ となる確率を求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期理系第1問

方針

1回ごとの $A$ の得点を $0, 1, 2$ のいずれかと見て，それぞれ確率 $1/3$ であることを使う。小問(3)は各回の合計が $2$ 点であることから $b_{5} = 10 - a_{5}$ とし，分布の対称性で処理する。

解答

(1)

1回ごとの $A$ の得点は $0, 1, 2$ のいずれも確率 $\frac{1}{3}$ で起こる。3回の得点の和が $3$ になるのは，

1, 1, 1

または

0, 1, 2

を並べ替えた場合である。したがって場合の数は $1 + 6 = 7$ 通りで，求める確率は

\frac{7}{27}

である。

(2)

5回の得点の和が $5$ になる場合を数える。 $1$ 点を基準にして， $0$ 点を $- 1$ ， $2$ 点を $+ 1$ と見れば，5個の値の和が $0$ になる場合である。 $+ 1$ と $- 1$ がそれぞれ $j$ 個ずつあるとして， $j = 0, 1, 2$ を調べると，場合の数は

1 + 20 + 30 = 51

である。よって求める確率は

\frac{51}{3 ^{5}} = \frac{17}{81}

である。

(3)

各回で二人の得点の合計は $2$ 点であるから， $a_{5} + b_{5} = 10$ である。したがって

a_{5} ≧ b_{5} ⟺ a_{5} ≧ 5

である。 $A$ と $B$ を入れ替えると $a_{5} < 5$ と $a_{5} > 5$ は同じ確率で起こるので，(2)より

P (a_{5} ≧ 5) = \frac{1 + P ( a _{5} = 5 )}{2} = \frac{1 + \frac{17}{81}}{2} = \frac{49}{81}

である。

岡山大学 2019年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2019年度
理系数学第1問