岡山大学 2019年度文理共通数学第4問解答・解説

問題

$a$ を実数とする．座標平面上の放物線

$C : y = 2 x^{2} + 4 x + 3$

と直線

$L : y = - 2 a x - a^{2}$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　 $C$ と $L$ が異なる $2$ 点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ．

(2)　 $a$ の値が(1)の範囲にあるとする． $C$ と $L$ で囲まれる図形の面積 $S$ を最大にする $a$ とそのときの $S$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期文理共通第4問

交点条件は二次方程式の判別式で処理する。面積は交点間の距離を用いた放物線と直線の標準的な面積公式に整理し， $a$ の範囲内で最大となるときを調べる。

交点の $x$ 座標は

2 x^{2} + 4 x + 3 = - 2 a x - a^{2}

すなわち

2 x^{2} + (4 + 2 a) x + 3 + a^{2} = 0

を満たす。この二次方程式が異なる $2$ つの実数解をもてばよい。判別式を $D$ とすると

D = (4 + 2 a)^{2} - 8 (3 + a^{2}) = 4 {2 - (a - 2)^{2}}

である。したがって $D > 0$ より

2 - 2 < a < 2 + 2

である。

交点の $x$ 座標を $α, β$ とし， $α < β$ とする。 $α ≦ x ≦ β$ では直線 $L$ が放物線 $C$ の上にあるので，面積 $S$ は

S = \int_{α}^{β} {(- 2 a x - a^{2}) - (2 x^{2} + 4 x + 3)} d x

である。二次式の係数が $2$ であることから

S = \frac{2}{6} (β - α)^{3} = \frac{1}{3} (β - α)^{3}

である。また

β - α = 2 - (a - 2)^{2}

であるから

S = \frac{1}{3} {2 - (a - 2)^{2}}^{3/2}

となる。(1)の範囲でこれは $a = 2$ のとき最大となる。よって

a = 2, S = \frac{2 2}{3}

である。