岡山大学 2019年度文理共通数学第2問（別問題）解答・解説

問題

$a, b$ を正の数とする．数列 ${x_{n}}$ を

$x_{1} = a,$ $x_{2} = b,$

$x_{n + 2} = \frac{1 + x _{n + 1}}{x _{n}}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　 $x_{6}, x_{7}$ を $a, b$ を用いて表せ．

(2)　 $a = 2$ とする． $x_{n}$ $(n = 1,$ $2,$ $3,$ $\dots)$ がすべて自然数になるような $b$ の値をすべて求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期文理共通第2問

最初の数項を漸化式から順に計算し， $x_{6} = x_{1}, x_{7} = x_{2}$ となる周期性を確認する。自然数条件は周期の中の $x_{1}$ から $x_{5}$ だけを調べればよい。

漸化式から

x_{3} = \frac{1 + b}{a}, x_{4} = \frac{1 + x _{3}}{x _{2}} = \frac{a + b + 1}{ab}, x_{5} = \frac{1 + x _{4}}{x _{3}} = \frac{a + 1}{b}

である。したがって

x_{6} = \frac{1 + x _{5}}{x _{4}} = a, x_{7} = \frac{1 + x _{6}}{x _{5}} = b

を得る。

$a = 2$ とすると，(1)の計算より

x_{1} = 2, x_{2} = b, x_{3} = \frac{b + 1}{2}, x_{4} = \frac{b + 3}{2 b}, x_{5} = \frac{3}{b}

であり， $x_{6} = x_{1}, x_{7} = x_{2}$ であるから，以後は周期的に繰り返す。よって $x_{1}$ から $x_{5}$ までがすべて自然数であることを調べればよい。

特に $x_{2} = b$ と $x_{5} = 3/ b$ が自然数であるから， $b$ は $3$ の正の約数であり， $b = 1, 3$ に限られる。実際， $b = 1$ のとき

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (2, 1, 1, 2, 3),

$b = 3$ のとき

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (2, 3, 2, 1, 1)

で，いずれもすべて自然数である。したがって求める値は

b = 1, 3

である。