岡山大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

% 図は省略（2018年岡山大前期文系【２】2018107010102の図）

図１：経路の図

図１のような経路の図があり，次のようなゲームを考える．最初は $A$ から出発し， $1$ 回の操作で， $1$ 個のさいころを投げて，出た目の数字が矢印にあればその方向に進み，なければその場にとどまる．この操作を繰り返し， $D$ に到達したらゲームは終了する．

例えば $B$ にいるときは， $1, 3, 5$ の目が出れば $C$ へ進み， $4$ の目が出れば $D$ へ進み， $2, 6$ の目が出ればその場にとどまる． $n$ を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ちょうど $n$ 回の操作を行った後に $B$ にいる確率を $n$ の式で表せ．

(2)　ちょうど $n$ 回の操作を行った後に $C$ にいる確率を $n$ の式で表せ．

(3)　ちょうど $n$ 回の操作でゲームが終了する確率を $n$ の式で表せ．

出典：岡山大学 2018年度前期理系第2問

方針

図から各点での遷移確率を読み取り， $n$ 回後に $B$ にいる確率 $b_{n}$ ， $C$ にいる確率 $c_{n}$ を立てる。 $b_{n}$ は等比数列で， $c_{n}$ は $b_{n}$ から流入する一次の漸化式として解く。ゲーム終了確率は直前に $B$ または $C$ にいる確率から求める。

解答

(1)

図より， $A$ から $B$ へ進む確率は $\frac{1}{2}$ ， $B$ にとどまる確率は $\frac{1}{3}$ である。 $B$ にいるためには，1回目に $A$ から $B$ へ進み，その後 $n - 1$ 回 $B$ にとどまればよい。したがって

b_{n} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n - 1}

である。

(2)

$n$ 回後に $C$ にいる確率を $c_{n}$ とする。図より，1回後に $C$ にいる確率は $c_{1} = \frac{1}{3}$ である。また $C$ にとどまる確率は $\frac{2}{3}$ ， $B$ から $C$ へ進む確率は $\frac{1}{2}$ であるから

c_{n + 1} = \frac{2}{3} c_{n} + \frac{1}{2} b_{n}

である。(1)の $b_{n}$ を代入して解くと

c_{n} = (\frac{2}{3})^{n - 1} \frac{1}{3} + j = 1 \sum n - 1 (\frac{2}{3})^{n - 1 - j} \frac{1}{4} (\frac{1}{3})^{j - 1}

である。右辺を整理して

c_{n} = \frac{13 \cdot 2 ^{n - 1} - 9}{4 \cdot 3 ^{n}}

を得る。

(3)

1回で終了する確率は， $A$ から $D$ へ進む確率なので $\frac{1}{6}$ である。

$n ≧ 2$ のとき，ちょうど $n$ 回で終了するには， $n - 1$ 回後に $B$ にいて次に $D$ へ進むか， $n - 1$ 回後に $C$ にいて次に $D$ へ進めばよい。図よりそれぞれの確率は $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}$ であるから

\frac{1}{6} b_{n - 1} + \frac{1}{3} c_{n - 1} = \frac{13 \cdot 2 ^{n - 2} - 6}{4 \cdot 3 ^{n}}

である。したがって，求める確率は

{\frac{1}{6} \frac{13 \cdot 2 ^{n - 2} - 6}{4 \cdot 3 ^{n}} (n = 1), (n ≧ 2)

である。

岡山大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2018年度
理系数学第2問