岡山大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = (1 + x) e^{x}$ について，以下の問いに答えよ．

(1)　 $f (x) = 0$ を満たす $x$ の値を求めよ．

(2)　曲線 $y = f (x)$ について，原点を通るすべての接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線 $y = f (x)$ について，原点を通る接線のうち，接点の $x$ 座標が最大のものを $L$ とする．曲線 $y = f (x)$ と直線 $L$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：岡山大学 2018年度前期理系第1問

$f (x) = (1 + x) e^{x}$ の零点は指数部分が正であることから求める。原点を通る接線は，接点を $x = t$ と置いて接線が原点を通る条件を立てる。面積は零点から接点までの曲線下の面積から，原点から接点までの接線下の三角形の面積を引いて求める。

$e^{x} > 0$ であるから， $f (x) = 0$ は

1 + x = 0

と同値である。よって

x = - 1

である。

接点の $x$ 座標を $t$ とする。 $f^{'} (x) = (x + 2) e^{x}$ であるから，接線は

y = (t + 2) e^{t} (x - t) + (t + 1) e^{t}

である。これが原点を通る条件は

0 = - (t + 2) t e^{t} + (t + 1) e^{t}

すなわち

t^{2} + t - 1 = 0

である。よって

t = \frac{- 1 \pm 5}{2}

である。したがって求める接線は

y = (\frac{3 + 5}{2}) e^{(- 1 + 5) /2} x, y = (\frac{3 - 5}{2}) e^{(- 1 - 5) /2} x

である。

接点の $x$ 座標が最大のものは

α = \frac{- 1 + 5}{2}

である。このとき接線 $L$ の傾きは $(α + 2) e^{α}$ である。求める面積を $S$ とすると，曲線は $x = - 1$ で $x$ 軸と交わり，接線は原点を通るので

S = \int_{- 1}^{α} (1 + x) e^{x} d x - \int_{0}^{α} (α + 2) e^{α} x d x

である。 ${x e^{x}}^{'} = (1 + x) e^{x}$ より

\int_{- 1}^{α} (1 + x) e^{x} d x = α e^{α} + e^{- 1}

である。また $α^{2} + α = 1$ から $α^{2} (α + 2) = 1$ である。よって

S = α e^{α} + e^{- 1} - \frac{α ^{2} ( α + 2 ) e ^{α}}{2} = e^{- 1} + (α - \frac{1}{2}) e^{α}

である。したがって

S = e^{- 1} + \frac{5 - 2}{2} e^{(- 1 + 5) /2}

である。