岡山大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

角 $α$ は $0 ≦ α ≦ π$ を満たし， $cos α = \frac{1}{3}$ とする．角 $θ$ は $α ≦ θ ≦ π$ の範囲を動くとする． $f (θ) = sin 2 θ - sin θ - cos θ + 2$ とおく．また， $t = sin θ + cos θ$ とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　 $sin (α + \frac{π}{4})$ の値を求めよ．

(2)　 $t$ の値の範囲を求めよ．

(3)　 $f (θ)$ を $t$ の式で表せ．

(4)　 $f (θ)$ の最小値を求めよ．

出典：岡山大学 2018年度前期文系第2問

方針

$cos α = 1/3$ から $sin α$ を求め， $t = sin θ + cos θ = 2 sin (θ + π /4)$ として範囲を出す。 $f (θ)$ は $t$ の二次式に整理し，得られた $t$ の範囲で最小値を調べる。

解答

(1)

$0 ≦ α ≦ π$ かつ $cos α = \frac{1}{3}$ であるから

sin α = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3}

である。したがって

sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{sin α + cos α}{2} = \frac{4 + 2}{6}

である。

(2)

t = sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

である。 $α ≦ θ ≦ π$ より

α + \frac{π}{4} ≦ θ + \frac{π}{4} ≦ \frac{5 π}{4}

である。この範囲で $sin (θ + \frac{π}{4})$ は $θ = α$ のとき最大， $θ = π$ のとき最小である。よって

- 1 ≦ t ≦ \frac{1 + 2 2}{3}

である。

(3)

t^{2} = (sin θ + cos θ)^{2} = 1 + sin 2 θ

より， $sin 2 θ = t^{2} - 1$ である。したがって

f (θ) = sin 2 θ - sin θ - cos θ + 2 = t^{2} - t + 1

である。

(4)

(2)の範囲に $t = \frac{1}{2}$ は含まれる。よって

t^{2} - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

より， $f (θ)$ の最小値は

\frac{3}{4}

である。

岡山大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2018年度
文系数学第2問