岡山大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ を考える．曲線 $C : y = f (x)$ 上の点 $A (t, f (t))$ における接線を $L$ とする．ただし $0 < t < 1$ とする．曲線 $C$ と接線 $L$ の接点 $A$ 以外の共有点を $B$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点 $B$ の座標を $t$ を用いて表せ．

(2)　 $2$ 点 $A, B$ の $y$ 座標の差の絶対値が最大となる $t$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2018年度前期文系第1問

方針

接線の方程式を作り，曲線との交点条件を因数分解する。接点 $x = t$ は重解になるので，もう一つの交点を読み取る。後半は2点の $y$ 座標差を $t$ の関数にして最大化する。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ であるから，点 $A (t, f (t))$ における接線 $L$ は

y = (3 t^{2} - 3) (x - t) + t^{3} - 3 t

である。曲線 $C$ との共有点の $x$ 座標は

x^{3} - 3 x = (3 t^{2} - 3) (x - t) + t^{3} - 3 t

を満たす。整理すると

x^{3} - 3 t^{2} x + 2 t^{3} = 0

すなわち

(x - t)^{2} (x + 2 t) = 0

である。接点以外の共有点は $x = - 2 t$ であるから

B = (- 2 t, - 8 t^{3} + 6 t)

である。

(2)

$A$ の $y$ 座標は $t^{3} - 3 t$ である。よって2点の $y$ 座標の差の絶対値は

∣ (- 8 t^{3} + 6 t) - (t^{3} - 3 t) ∣ = 9 t (1 - t^{2})

である。 $0 < t < 1$ において $g (t) = t - t^{3}$ とおくと，

g^{'} (t) = 1 - 3 t^{2}

であるから， $g (t)$ は $t = \frac{1}{3}$ で最大となる。したがって求める値は

t = \frac{1}{3}

である。

岡山大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

岡山大学 2018年度
文系数学第1問