岡山大学 2016年度理系数学第3問解答・解説

問題

$a$ は正の数とし，次の関数 $y = f_{a} (x)$ のグラフの変曲点を $P$ とする．

$f_{a} (x) = a x e^{- \frac{x}{a}} (x ≧ 0)$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)　点 $P$ の座標を求めよ．

(2)　 $a$ が区間 $1 ≦ a ≦ 2$ 全体を動くとき，点 $P$ が描く曲線 $C$ の概形を図示せよ．

(3)　 $x ≧ 0$ における曲線 $y = f_{1} (x), y = f_{2} (x)$ と(2)の曲線 $C$ の $3$ 曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：岡山大学 2016年度前期理系第3問

方針

まず $f_{a}^{'} (x)$ ， $f_{a}^{''} (x)$ を求めて変曲点を出す。変曲点の軌跡は $x = 2 a$ から $a$ を消去して放物線の一部にする。面積は，3曲線の交点が $(0, 0)$ ， $x = 2$ ， $x = 4$ であることを確認し， $[0, 2]$ では $f_{2} - f_{1}$ ， $[2, 4]$ では $f_{2} - C$ を積分する。

解答

(1)

f_{a} (x) = a x e^{- x / a}

より

f_{a}^{'} (x) = (a - x) e^{- x / a}

であり，さらに

f_{a}^{''} (x) = (\frac{x}{a} - 2) e^{- x / a}

である。 $e^{- x / a} > 0$ だから，変曲点では $\frac{x}{a} - 2 = 0$ ，すなわち $x = 2 a$ である。したがって

y = f_{a} (2 a) = a \cdot 2 a \cdot e^{- 2} = \frac{2 a ^{2}}{e ^{2}}

であり，点 $P$ の座標は

(2 a, \frac{2 a ^{2}}{e ^{2}})

である。

(2)

(1)より $x = 2 a$ ， $y = \frac{2 a ^{2}}{e ^{2}}$ である。 $a = \frac{x}{2}$ を代入して

y = \frac{x ^{2}}{2 e ^{2}}

を得る。また $1 ≦ a ≦ 2$ だから

2 ≦ x ≦ 4

である。したがって曲線 $C$ は，放物線 $y = \frac{x ^{2}}{2 e ^{2}}$ のうち $2 ≦ x ≦ 4$ の部分である。端点は

(2, \frac{2}{e ^{2}}), (4, \frac{8}{e ^{2}})

である。

(3)

$f_{1} (x) = x e^{- x}$ ， $f_{2} (x) = 2 x e^{- x /2}$ である。 $x = 0$ で $f_{1} (x) = f_{2} (x) = 0$ である。また(2)の曲線 $C$ は， $x = 2$ で $f_{1}$ と交わり， $x = 4$ で $f_{2}$ と交わる。実際，

f_{1} (2) = \frac{2}{e ^{2}}, f_{2} (4) = \frac{8}{e ^{2}}

である。

したがって囲まれた部分の面積 $S$ は

S = \int_{0}^{2} {2 x e^{- x /2} - x e^{- x}} d x + \int_{2}^{4} {2 x e^{- x /2} - \frac{x ^{2}}{2 e ^{2}}} d x

である。

\int 2 x e^{- x /2} d x = - 4 (x + 2) e^{- x /2}, \int x e^{- x} d x = - (x + 1) e^{- x}

であるから

\int_{0}^{2} {2 x e^{- x /2} - x e^{- x}} d x = 7 - \frac{16}{e} + \frac{3}{e ^{2}}

である。また

\int_{2}^{4} {2 x e^{- x /2} - \frac{x ^{2}}{2 e ^{2}}} d x = \frac{16}{e} - \frac{100}{3 e ^{2}}

である。よって

S = 7 - \frac{91}{3 e ^{2}}

である。

岡山大学 2016年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2016年度
理系数学第3問