岡山大学 2016年度理系数学第1問解答・解説

問題

$p$ は素数とする．正の整数 $n$ に対し， $p^{d}$ が $n$ の約数となる整数 $d (d ≧ 0)$ のなかで最大のものを $f (n)$ とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　 $p = 3, n = 3^{2}!$ のとき $f (n)$ の値を求めよ．

(2)　 $p = 5, n = 5^{2}!$ のとき $f (n)$ の値を求めよ．

(3)　 $m$ が正の整数で $n = p^{m}!$ のとき $f (n)$ を求めよ．

出典：岡山大学 2016年度前期理系第1問

$n!$ に含まれる素数 $p$ の個数は， $p$ の倍数， $p^{2}$ の倍数， $p^{3}$ の倍数，… を数えて足せばよい。 $(p^{m})!$ では $p, p^{2}, \dots, p^{m}$ の倍数だけを数えればよく，等比数列の和になる。

$3^{2}! = 9!$ に含まれる素因数3の個数を数える。 $1, 2, \dots, 9$ の中で3の倍数は3個，9の倍数は1個である。したがって

f (9!) = 3 + 1 = 4

である。

$5^{2}! = 25!$ に含まれる素因数5の個数を数える。 $1, 2, \dots, 25$ の中で5の倍数は5個，25の倍数は1個である。したがって

f (25!) = 5 + 1 = 6

である。

$n = (p^{m})!$ とする。 $(p^{m})!$ に含まれる素因数 $p$ の個数は， $1, 2, \dots, p^{m}$ の中で $p$ の倍数の個数， $p^{2}$ の倍数の個数，…， $p^{m}$ の倍数の個数を足したものである。

$p^{k}$ の倍数は $p^{m - k}$ 個あるので，

f (n) = p^{m - 1} + p^{m - 2} + \dots + p + 1

である。等比数列の和として

f (n) = \frac{p ^{m} - 1}{p - 1}

である。