岡山大学 2016年度文系数学第3問解答・解説

問題

ひとつのサイコロを $3$ 回振り，出た目を順に $u, v, w$ とする．そして座標平面上の $2$ 点 $A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2})$ を

$a_{1} = u, a_{2} = 0, b_{1} = v cos \frac{( w + 2 ) π}{12}, b_{2} = v sin \frac{( w + 2 ) π}{12}$

で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし $O$ は原点 $(0, 0)$ とする．

(1)　 $△ O A B$ が正三角形となる確率を求めよ．

(2)　 $△ O A B$ が大きさ $\frac{π}{3}$ の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．

出典：岡山大学 2016年度前期文系第3問

方針

$O A = u$ ， $O B = v$ ， $∠ A O B = (w + 2) π /12$ として三角形の形を判定する。正三角形は $u = v$ かつ $∠ A O B = π /3$ 。直角三角形で $π /3$ の内角をもつ場合は， $∠ A O B = π /3$ のときに直角が $A$ または $B$ に来る場合を数える。

解答

(1)

$O A = u$ ， $O B = v$ であり，

∠ A O B = \frac{( w + 2 ) π}{12}

である。 $w = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対して，この角は

\frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{12}, \frac{π}{2}, \frac{7 π}{12}, \frac{2 π}{3}

である。

$△ O A B$ が正三角形となるには， $O A = O B$ かつ $∠ A O B = \frac{π}{3}$ であればよい。したがって $u = v$ ， $w = 2$ である。 $u = v$ の選び方は6通りであるから，有利な場合は6通りである。全事象は $6^{3} = 216$ 通りなので，求める確率は

\frac{6}{216} = \frac{1}{36}

である。

(2)

直角三角形で大きさ $\frac{π}{3}$ の内角をもつなら，内角は $\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{π}{6}$ である。上に列挙した $∠ A O B$ の候補から，可能性があるのは $∠ A O B = \frac{π}{3}$ または $∠ A O B = \frac{π}{2}$ である。

まず $∠ A O B = \frac{π}{2}$ のとき，直角は $O$ である。残りの角の一方が $\frac{π}{3}$ になるには，直角三角形の2辺の比が $1 : 3$ でなければならない。しかし $u, v$ は整数なので， $u : v = 1 : 3$ または $3 : 1$ は起こらない。

次に $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，すなわち $w = 2$ の場合を考える。直角が $A$ にある条件は

A O \cdot A B = 0

である。これは

- u (v cos (π /3) - u) = 0

より $u = \frac{v}{2}$ ，すなわち $v = 2 u$ である。 $u = 1, 2, 3$ の3通りである。

直角が $B$ にある条件は

B O \cdot B A = 0

であり，これは $v = \frac{u}{2}$ ，すなわち $u = 2 v$ である。 $v = 1, 2, 3$ の3通りである。

したがって有利な場合は合計6通りであり，求める確率は

\frac{6}{216} = \frac{1}{36}

である。

岡山大学 2016年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

岡山大学 2016年度
文系数学第3問