岡山大学 2016年度文系数学第1問解答・解説

問題

複素数 $ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ について，以下の問いに答えよ．

(1)　 $ω^{2} + ω^{4}, ω^{5} + ω^{10}$ の値を求めよ．

(2)　 $n$ を正の整数とするとき， $ω^{n} + ω^{2 n}$ の値を求めよ．

(3)　 $n$ を正の整数とするとき，

$(ω + 2)^{n} + (ω^{2} + 2)^{n}$

が整数であることを証明せよ．

出典：岡山大学 2016年度前期文系第1問

$ω$ が1でない3乗根であること，すなわち $ω^{3} = 1$ かつ $1 + ω + ω^{2} = 0$ を使う。(3)は $α = ω + 2$ ， $β = ω^{2} + 2$ とおき，和と積が整数であることから $α^{n} + β^{n}$ の漸化式を作る。

$ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ であるから， $ω^{2} + ω + 1 = 0$ ， $ω^{3} = 1$ である。したがって

ω^{2} + ω^{4} = ω^{2} + ω = - 1

である。また $ω^{5} = ω^{2}$ ， $ω^{10} = ω$ であるから

ω^{5} + ω^{10} = ω^{2} + ω = - 1

である。

$n$ を3で割った余りで場合分けする。 $n$ が3の倍数のとき， $ω^{n} = 1$ ， $ω^{2 n} = 1$ であるから

ω^{n} + ω^{2 n} = 2

である。

$n$ が3で割って1余るとき， $ω^{n} = ω$ ， $ω^{2 n} = ω^{2}$ であるから，和は $- 1$ である。

$n$ が3で割って2余るとき， $ω^{n} = ω^{2}$ ， $ω^{2 n} = ω^{4} = ω$ であるから，和は $- 1$ である。

よって

ω^{n} + ω^{2 n} = {2 - 1 (n が 3 の倍数), (n が 3 の倍数でない)

である。

$α = ω + 2$ ， $β = ω^{2} + 2$ とおく。すると

α + β = ω + ω^{2} + 4 = 3

であり，

α β = (ω + 2) (ω^{2} + 2) = ω^{3} + 2 (ω + ω^{2}) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3

である。

$S_{n} = α^{n} + β^{n}$ とおく。 $α, β$ はともに方程式 $X^{2} - 3 X + 3 = 0$ を満たすから， $n ≧ 1$ について

S_{n + 2} = 3 S_{n + 1} - 3 S_{n}

である。また $S_{1} = α + β = 3$ ， $S_{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 9 - 6 = 3$ である。したがって漸化式から，数学的帰納法によりすべての正の整数 $n$ について $S_{n}$ は整数である。

ゆえに

(ω + 2)^{n} + (ω^{2} + 2)^{n}

は整数である。