名古屋大学 2025年度
文理共通数学 文系第4問・理系第4問

解答

コイン $i$ が，$n$ 回の操作終了時点までに選ばれた回数を2で割った余りを $x_i(i=1,2,3,4,5,6)$ とおく。つまり，$x_i=0$ は偶数回，$x_i=1$ は奇数回選ばれたことを表す。選ばれたコイン自身は裏返らず，辺を共有して隣接するコインだけが裏返るので，各コインが裏返された回数も2で割った余りだけ見ればよい。

配置は上段左から $1,2,3$，下段左から $4,5,6$ である。したがって隣接関係は $1:2,4,2:1,3,5,3:2,6,$ $4:1,5,5:2,4,6,6:3,5$ である。すべてのコインが裏向きであるためには，各コインが奇数回裏返されればよい。よって2を法として $x_2+x_4=1,$ $x_1+x_3+x_5=1,$ $x_2+x_6=1,$ $x_1+x_5=1,$ $x_2+x_4+x_6=1,$ $x_3+x_5=1$ が成り立つ。

この連立条件を解く。1つ目と5つ目を比べると $x_6=0$ である。3つ目から $x_2=1$ であり，1つ目から $x_4=0$ である。さらに4つ目と6つ目より $x_1=1-x_5,x_3=1-x_5$ である。これを2つ目に代入すると $(1-x_5)+(1-x_5)+x_5=1$ であり，2を法として整理すると $x_5=1$ となる。したがって $x_1=x_3=0,x_2=x_5=1,x_4=x_6=0$ である。

(1)

2回の操作ですべて裏向きになるには，2回の選択の中でコイン2とコイン5がそれぞれ奇数回，すなわち1回ずつ選ばれ，他のコインは選ばれない必要がある。順序を考えると $(2,5),(5,2)$ の2通りである。全事象は各回6通りなので $6^2$ 通りである。したがって $\boxed{p_2=\frac{2}{6^2}=\frac{1}{18}}$ である。

(2)

上で求めた偶奇条件より，選ばれた回数が奇数であるべきコインは $2$ と $5$，偶数であるべきコインは $1,3,4,6$ である。したがって $\boxed{A=\{2,5\},B=\{1,3,4,6\}}$ と分ければよい。

(3)

4回の操作で条件を満たすには，コイン2と5がそれぞれ奇数回，コイン1,3,4,6がそれぞれ偶数回選ばれればよい。

まず，コイン2と5がそれぞれ1回ずつ選ばれる場合を考える。残り2回は，$1,3,4,6$ のうち同じコインが2回選ばれなければならない。どのコインが2回選ばれるかは4通りであり，そのとき4回の並べ方は $\frac{4!}{2!}=12$ 通りである。よってこの場合は $4\cdot 12=48$ 通りである。

次に，コイン2と5のどちらか一方が3回，もう一方が1回選ばれる場合を考える。コイン2が3回でコイン5が1回の並べ方は $\frac{4!}{3!1!}=4$ 通りであり，逆にコイン2が1回でコイン5が3回の場合も4通りである。したがってこの場合は $8$ 通りである。

以上で4回の選択におけるすべての場合を尽くしている。有利な場合は $48+8=56$ 通りであり，全事象は $6^4$ 通りである。したがって $\boxed{p_4=\frac{56}{6^4}=\frac{7}{162}}$ である。