問題
整数に対し次の条件を考える。
(＊) かつ
以下の問に答えよ。
(1) それぞれの場合に条件(＊)をみたす整数の組をすべて求めよ。
(2) は3以上の素数，は正の整数，とする。このとき，条件(＊)をみたす整数の組をすべて求めよ。
出典：名古屋大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
と因数分解し，， とおく。 から は正の整数で ，さらに ， が整数になるため は同じ偶奇でなければならない。(1)は因数対を列挙する。(2)は の因数対がともに偶数に限られることを使い，，， に帰着する。
解答
準備
である。そこで とおく。条件 より である。今回 の場合だけを扱うので，実際には である。また であり，逆に が正の整数で ， を満たすとき となる。したがって が整数になるためには， と が同じ偶奇であることが必要十分である。
(1)
のとき，正の因数対 ， は である。このうち同じ偶奇であるものは である。よって である。 のとき，正の因数対は であり，どちらも奇数同士である。したがって である。 のとき，正の因数対は である。どちらも一方が奇数，他方が偶数なので， が整数にならない。よって解は存在しない。
以上より
である。
(2)
とする。ただし は3以上の素数なので奇数である。準備と同じく とおくと であり， は同じ偶奇でなければならない。
積 は偶数であり， は奇数である。 が同じ偶奇なら，奇数同士では積が奇数になってしまう。したがって はともに偶数である。そこで とおくと， である。 は素数だから， の正の因数は だけである。よって と表せる。 より すなわち である。
このとき である。 なら も満たす。したがって求める組は
である。