名古屋大学 2023年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とし， $n$ 次の整式 $P_{n} (x) = x (x + 1) \dots (x + n - 1)$ を展開して $P_{n} (x) = m = 1 \sum n_{n} B_{m} x^{m}$ と表す。

(1) 等式 $m = 1 \sum n_{n} B_{m} = n!$ を示せ。

(2) 等式

P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n (_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{0} +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{1} x + \dots +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{m} x^{m})

を示せ。ただし， $_{m} C_{0},_{m} C_{1}, \dots,_{m} C_{m}$ は二項係数である。

(3) $k = 1, 2, \dots, n$ に対して，等式 $j = k \sum n_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}$ を示せ。

出典：名古屋大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1) は係数和なので $P_{n} (1)$ を計算する。(2) は $P_{n} (x) = \sum_{n} B_{m} x^{m}$ に $x + 1$ を代入し，二項定理で各 $(x + 1)^{m}$ を展開する。(3) は(2)の $x^{k}$ の係数を左辺として読み取り，一方で $P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n) = P_{n + 1} (x) / x$ と書いて右辺の係数を読む。次数が1つずれるため $_{n + 1} B_{k + 1}$ になる点に注意する。

解答

(1)

$P_{n} (x) = \sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} x^{m}$ に $x = 1$ を代入すると $P_{n} (1) = \sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m}$ である。一方，定義より $P_{n} (1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n = n!$ である。したがって $\sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} = n!$ が成り立つ。

(2)

$P_{n} (x) = \sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} x^{m}$ であるから， $x$ を $x + 1$ に置き換えると $P_{n} (x + 1) = \sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} (x + 1)^{m}$ である。二項定理より $(x + 1)^{m} =_{m} C_{0} +_{m} C_{1} x + \dots +_{m} C_{m} x^{m}$ なので

P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n_{n} B_{m} (_{m} C_{0} +_{m} C_{1} x + \dots +_{m} C_{m} x^{m})

である。これは問題の等式そのものである。

(3)

(2)の右辺から $x^{k}$ の係数を読む。 $(x + 1)^{j}$ の中で $x^{k}$ の係数は， $j ≧ k$ のとき $_{j} C_{k}$ ， $j < k$ のとき0である。したがって $x^{k}$ の係数は $\sum_{j = k}^{n}_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k}$ である。

一方，定義から $P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)$ である。また $P_{n + 1} (x) = x (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)$ だから $P_{n} (x + 1) = \frac{P _{n + 1} ( x )}{x}$ である。ここで $P_{n + 1} (x) = \sum_{m = 1}^{n + 1}_{n + 1} B_{m} x^{m}$ なので $\frac{P _{n + 1} ( x )}{x} = \sum_{m = 1}^{n + 1}_{n + 1} B_{m} x^{m - 1}$ である。この式の $x^{k}$ の係数は， $m - 1 = k$ ，すなわち $m = k + 1$ に対応する $_{n + 1} B_{k + 1}$ である。

同じ整式 $P_{n} (x + 1)$ の $x^{k}$ の係数を比較して $\sum_{j = k}^{n}_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}$ を得る。

名古屋大学 2023年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2023年度
理系数学第4問