問題
実数係数の4次方程式は相異なる複素数，，，を解に持ち，それらは全て複素数平面において，点1を中心とする半径1の円周上にあるとする。ただし，，はそれぞれ，と共役な複素数を表す。
(1) を示せ。
(2) ，とおく。，，，をそれぞれとで表せ。
(3) 座標平面において，点のとりうる範囲を図示せよ。
出典：名古屋大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
円周条件 を展開すると，各共役対について「和＝積」が得られる。すると4次式は と分解でき，係数比較で が出る。(3) は がともに にあり，かつ であることから，， の範囲を求める。相加相乗平均と が境界の式を与える。
解答
(1)
は点1を中心とする半径1の円周上にあるので である。両辺を2乗すると である。展開して となるから である。
(2)
， とおく。(1)より である。したがって，4次方程式の左辺は
と表される。展開すると
である。これを と比較して を得る。
(3)
が円 上にあり， であるから， は実数ではない。円周上の点を と書くと， であり， だから である。同様に である。また なら2つの2次式 ， が一致し，4つの解が相異なることに反する。したがって である。 より，まず である。また相加相乗平均より であるが， なので等号は成り立たず である。
さらに ， より である。これを で表すと すなわち である。
以上より，点 のとりうる範囲は である。したがって座標平面では，放物線 の下側，かつ と の上側にある開領域を図示すればよい。境界はすべて含まない。