問題
1つのサイコロを3回投げる。1回目に出る目を，2回目に出る目を，3回目に出る目をとする。なおサイコロは1から6までの目が等しい確率で出るものとする。
(1) となる確率を求めよ。
(2) とが互いに素となる確率を求めよ。
方針
全事象は の 通りである。(1)は不等式を に直し、 と に分けて、各 で許される の範囲を数える。(2)は が偶数であることから が奇数でなければならず、まず が奇数に限られる。そのうえで、奇数素因数について を使い、条件を に帰着して数える。
解答
(1)
条件 は と同値である。 のときは左辺が0なので、任意の で条件が成り立つ。したがって 通りである。 のときは である。各 について、 を満たす組の個数を数えると
である。たとえば の場合は の8通りである。
したがって有利な場合は 通りであり、求める確率は である。
(2)
とおく。 は偶数であるから、 が偶数なら と は互いに素でない。 は偶数なので、 が奇数であるためには が奇数、すなわち でなければならない。
以下、 は奇数とする。奇数の素数 が を割るとき、 である。 なので、 は と同値である。また、 のときは である。したがって と が互いに素であるための条件は である。 を が3や5で割り切れるかで分類する。
である。よって有利な場合は 通りである。したがって求める確率は である。
別解。(2)は から数えてもよい。上で示した通り、必要十分条件は である。 のときは が3でも5でも割り切れないので、 は 通りすべて可能である。 のときは に3を含められないので の4通りである。 のときは に5を含められないので の4通りである。したがって有利な場合は 通りとなり、同じく確率は である。