名古屋大学 2022年度
文理共通数学 文系第1問・理系第1問

解答

(1)

$x^3$ を $(x-a{)}^2$ で割った余りを $px+q$ とおく。このとき $x^3-(px+q)$ は $(x-a{)}^2$ で割り切れる。したがって $x=a$ を代入した値が0であり、さらに微分した式も $x=a$ で0になる。

まず値から $a^3-(pa+q)=0$ すなわち $pa+q=a^3$ である。次に微分すると $3x^2-p$ であるから、$x=a$ で $3a^2-p=0$ となる。よって $p=3a^2$ であり、これを $pa+q=a^3$ に代入して $3a^3+q=a^3$ だから $q=-2a^3$ である。

したがって求める余りは $3a^{2}x-2a^3$ である。

(2)

$f(x)=x^2+\alpha x+\beta$ で割ることを考える。$f(x)$ を法として $x^2\equiv -\alpha x-\beta$ である。したがって

である。

この余りが $3x+b$ であるから、係数を比較して ${\alpha }^2-\beta =3,\alpha \beta =b$ を得る。よって $\beta ={\alpha }^2-3$ であり、$b=\alpha ({\alpha }^2-3)={\alpha }^3-3\alpha$ である。

逆に、実数 $\alpha$ が $b={\alpha }^3-3\alpha$ を満たせば、$\beta ={\alpha }^2-3$ とおくことで、条件を満たす2次式 $f(x)=x^2+\alpha x+\beta$ がただ1つ定まる。したがって、求める個数は方程式 ${\alpha }^3-3\alpha =b$ の実数解の個数に等しい。 $h(\alpha )={\alpha }^3-3\alpha$ とおくと $h^{\prime }(\alpha )=3{\alpha }^2-3=3(\alpha -1)(\alpha +1)$ である。よって $h$ は

する。また $h(-1)=2,h(1)=-2$ である。

したがって水平線 $y=b$ との交点の個数を考えると、条件を満たす $f(x)$ の個数は

である。