問題
次の問に答えよ。
(1) 整数，の少なくとも一方が奇数のとき，は奇数であることを示せ。
(2) を奇数とする。このときをみたす整数，は存在しないことを示せ。
(3) を実数とする。このとき3次方程式の解のうち整数であるものは1個以下であることを示せ。
出典：名古屋大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1)は偶奇を で割った余りで分ける。少なくとも一方が奇数なら は必ず奇数になる。(2)は，少なくとも一方が奇数の場合と両方が偶数の場合に分け，右辺 が で割ると 余ることと矛盾させる。(3)は異なる2つの整数解があると仮定して方程式の値の差を取り， を導き，(2)を に適用する。
解答
(1)
整数の偶奇だけを考える。平方はもとの整数と同じ偶奇をもつので， で割った余りについて である。 の少なくとも一方が奇数である場合を調べる。 の偶奇は のいずれかである。左辺の余りはそれぞれ である。したがって は奇数である。
(2)
は奇数であるから， は偶数であり，しかも では割り切れない。
もし の少なくとも一方が奇数なら，(1)より左辺 は奇数である。これは偶数 に等しいことに矛盾する。
一方， がともに偶数なら，， と書ける。このとき であり，左辺は で割り切れる。しかし は で割り切れない。これも矛盾である。
以上より，方程式 を満たす整数 は存在しない。
(3)
3次方程式 が異なる2つの整数解 をもつと仮定する。すると である。両式を引くと であり，因数分解して となる。 だから である。
ここで は奇数なので，(2)を ，， に適用すると，この等式は成り立たない。矛盾である。したがって整数解は高々1個である。