問題
半径1の円盤が半径2の円板に貼り付けられており，2つの円盤の中心は一致する。の周上にある定点をとする。図のように，時刻においてはで軸に接し，は座標の位置にある。2つの円盤は一体となり，は軸上をすべることなく転がっていく。時刻での中心が点にあるように転がるとき，においてが描く曲線をとする。
(1) 時刻におけるの座標をで表す。を求めよ。
(2) とのに関する増減を調べ，あるいはが最大値または最小値をとるときのの座標を全て求めよ。
(3) と軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
出典：名古屋大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
中心は にあり、すべらずに右へ転がるので円盤は時計回りに角 だけ回転する。初期の中心から へのベクトル を時計回りに回して媒介変数表示を作る。増減は の符号で調べるが、 になることを(3)でも利用する。面積は となる2つの 軸交点の間で として計算する。
解答
(1)
時刻 における2つの円盤の中心は である。時刻 では中心から へのベクトルは である。半径1の円盤がすべらずに右へ長さ だけ転がるので、円盤全体は時計回りに角 だけ回転する。したがってこのベクトルは になる。よって である。
(2)
微分すると である。
まず となるのは より である。 では 、 では 、 では だから、 は で最小、 で最大となる。そのときの点は
である。
次に となるのは である。 では 、 では だから、 は で最小、 で最大となる。そのときの点は である。
(3)
軸との交点は から すなわち である。この区間では であり、また である。したがって、囲まれた部分の面積を とすると
である。
ここで だから である。よって
である。