名古屋大学 2013年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x > 0$ とし， $f (x) = lo g x^{100}$ とおく。

(1) 次の不等式を証明せよ。

\frac{100}{x + 1} < f (x + 1) - f (x) < \frac{100}{x}

(2) 実数 $a$ の整数部分（ $k ≦ a < k + 1$ となる整数 $k$ ）を $[a]$ で表す。整数 $[f (1)]$ ， $[f (2)]$ ， $[f (3)]$ ， $\dots$ ， $[f (1000)]$ のうちで異なるものの個数を求めよ。必要ならば $lo g 10 = 2.3026$ として計算せよ。

出典：名古屋大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

$f (x) = 100 lo g x$ として、対数の増加量を $\int_{x}^{x + 1} 1/ t d t$ で挟む。(2)ではこの不等式から、 $x ≦ 99$ では整数部分が必ず変わり、 $x ≧ 100$ では整数部分が1つずつしか進まないことを読む。したがって前半は個数を直接数え、後半は $[f (100)]$ から $[f (1000)]$ までの連続した整数部分の個数を、指定された $lo g 10$ の値で確定する。

解答

(1)

$f (x) = lo g x^{100} = 100 lo g x$ である。したがって $f (x + 1) - f (x) = 100 {lo g (x + 1) - lo g x} = 100 \int_{x}^{x + 1} \frac{d t}{t}$ である。 $x < t < x + 1$ では $\frac{1}{x + 1} < \frac{1}{t} < \frac{1}{x}$ だから、両辺を $x$ から $x + 1$ まで積分して $\frac{1}{x + 1} < \int_{x}^{x + 1} \frac{d t}{t} < \frac{1}{x}$ を得る。よって $\frac{100}{x + 1} < f (x + 1) - f (x) < \frac{100}{x}$ である。

(2)

まず $1 ≦ x ≦ 99$ のとき、(1)より $f (x + 1) - f (x) > \frac{100}{x + 1} ≧ 1$ であり、実際には左の不等号が厳しいので $f (x + 1) - f (x) > 1$ である。したがって $[f (1)], [f (2)], \dots, [f (99)]$ はすべて異なる。また $f (100) - f (99) > 1$ であり、後で見るように $[f (100)] = 460$ だから、これら99個は $[f (100)]$ 以降とは重ならない。

次に $x ≧ 100$ のとき、(1)より $f (x + 1) - f (x) < \frac{100}{x} ≦ 1$ である。 $f (x)$ は増加関数なので、 $[f (100)], [f (101)], \dots, [f (1000)]$ は整数を飛ばさずに増加する。

指定された $lo g 10 = 2.3026$ を用いると $f (100) = 100 lo g 100 = 200 lo g 10 = 460.52$ より $[f (100)] = 460$ である。また $f (1000) = 100 lo g 1000 = 300 lo g 10 = 690.78$ より $[f (1000)] = 690$ である。したがって $100$ から $1000$ までで現れる整数部分は $460, 461, \dots, 690$ の $690 - 460 + 1 = 231$ 個である。

以上より、求める個数は $99 + 231 = 330$ である。

名古屋大学 2013年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2013年度
理系数学第2問