問題
，，は整数とし，とする。を二項係数として，，を以下のように定める。
(1) とを求めよ。
(2) 一般のに対してを求めよ。
(3) が7以上の素数のとき，，，，はの倍数であることを示せ。
出典：名古屋大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
は の定義を代入して和の順序を入れ替えると、内側が二項定理で になり、望遠和として閉じる。(3)は標準公式でも解けるが、(2)を使うとより問題の流れに沿う。、 を順に代入し、すでに示した の倍数性を使って次の を導く。 なので係数 を割ってよいことを明記する。
解答
(1)
のときは、すべての について である。したがって である。 のときは であるから
である。
(2)
定義を代入して和の順序を入れ替えると
である。二項定理より だから である。
(3)
(2)で とすると であり、これは の倍数である。
まず とすると である。 なので は2を割り切らない。よって は の倍数である。
次に とすると である。左辺と第1項は の倍数であるから、 も の倍数である。 は3を割り切らないので、 は の倍数である。
同様に、 では であり、すでに は の倍数であるから、 が の倍数である。 は4を割り切らないので、 は の倍数である。
さらに では である。前3項は の倍数で、左辺も の倍数だから、 が の倍数である。 は5を割り切らないので、 は の倍数である。
以上より、 はいずれも の倍数である。
別解。和の公式を用いてもよい。
に を代入すると、分子はいずれも因数 を含む。 より分母 は で割り切れないので、同じ結論が得られる。