名古屋大学 2013年度文系数学第2問解答・解説

問題

平面上に同じ点 $O$ を中心とする半径1の円 $C_{1}$ と半径2の円 $C_{2}$ があり， $C_{1}$ の周上に定点 $A$ がある。点 $P$ ， $Q$ はそれぞれ $C_{1}$ ， $C_{2}$ の周上を反時計回りに動き，ともに時間 $t$ の間に弧長 $t$ だけ進む。時刻 $t = 0$ において， $P$ は $A$ の位置にあって $O$ ， $P$ ， $Q$ はこの順に同一直線上に並んでいる。 $0 ≦ t ≦ 4 π$ のとき $△ A P Q$ の面積の2乗の最大値を求めよ。

出典：名古屋大学 2013年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

座標を $O = (0, 0), A = (1, 0)$ と置く。弧長が同じでも半径が違うため、 $P$ の偏角は $t$ 、 $Q$ の偏角は $t /2$ になる点が第一の注意である。三角形の面積は $A P, A Q$ の行列式で表し、 $u = t /2$ として三角関数を整理する。最後は $x = cos u$ によって $[- 1, 1]$ 上の4次式の最大問題に直し、端点と微分の臨界点を比較する。

解答

$O$ を原点、 $A = (1, 0)$ とする。点 $P$ は半径1の円周上を弧長 $t$ だけ進むから偏角は $t$ である。一方、点 $Q$ は半径2の円周上を弧長 $t$ だけ進むので、偏角は $t /2$ である。したがって $P = (cos t, sin t), Q = (2 cos \frac{t}{2}, 2 sin \frac{t}{2})$ である。 $△ A P Q$ の面積を $S$ とする。行列式で2倍の面積を表すと

2 S = (cos t - 1) 2 sin \frac{t}{2} - sin t (2 cos \frac{t}{2} - 1)

である。ここで $u = t /2$ とおくと $cos t = 2 cos^{2} u - 1, sin t = 2 sin u cos u$ だから、中身は $2 (cos t - 1) sin u - sin t (2 cos u - 1)$ $= 4 sin u (cos^{2} u - 1) - 2 sin u cos u (2 cos u - 1) = 2 sin u (cos u - 2)$ となる。よって $S^{2} = sin^{2} u (cos u - 2)^{2}$ である。 $0 ≦ t ≦ 4 π$ なので $0 ≦ u ≦ 2 π$ であり、 $x = cos u$ とおけば $- 1 ≦ x ≦ 1$ のすべてを動く。したがって $S^{2} = (1 - x^{2}) (x - 2)^{2}$ の最大値を求めればよい。 $F (x) = (1 - x^{2}) (x - 2)^{2}$ とおくと $F^{'} (x) = - 2 x (x - 2)^{2} + 2 (1 - x^{2}) (x - 2) = - 2 (x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 1)$ である。 $- 1 ≦ x ≦ 1$ に入る臨界点は $x = \frac{1 - 3}{2}$ のみである。端点では $F (- 1) = F (1) = 0$ であり、この臨界点で最大をとる。

このとき $1 - x^{2} = \frac{3}{2}, (x - 2)^{2} = 3 + \frac{3 3}{2}$ であるから、求める最大値は

\frac{3}{2} (3 + \frac{3 3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{3 3}{2}

である。

名古屋大学 2013年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

名古屋大学 2013年度
文系数学第2問