名古屋大学 2012年度文系数学第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に，点 $(0, 1)$ を通り，傾きが $h$ の直線 $l$ がある。

(1) $x y$ 平面において， $l$ に関して点 $P (a, b)$ と対称な点を $Q (s, t)$ とする。このとき， $a$ ， $b$ ， $h$ を用いて $s$ ， $t$ を表せ。ただし，点 $P (a, b)$ は $l$ 上にないとする。

(2) $x y$ 平面において， $l$ に関して原点 $O (0, 0)$ と対称な点を $A$ とする。 $h$ が $- 1 ≦ h ≦ 1$ の範囲を動くとき，線分 $O A$ の長さの最大値と最小値を求めよ。

(3) $h$ が $- 1 ≦ h ≦ 1$ の範囲を動くときの点 $A$ の軌跡を $C$ とする。 $C$ と直線 $y = 1$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

出典：名古屋大学 2012年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

直線を $h x - y + 1 = 0$ と書き、点と直線の対称移動を「垂線の足を中点にする」形で導く。一般点 $P (a, b)$ から直線への符号付き量 $ha - b + 1$ を使えば、対称点の座標が一度で出る。(2)では $a = b = 0$ を代入して原点の対称点 $A$ を求め、長さ $O A$ を $h$ の関数にする。(3)は $A$ の座標から $h$ を消去して円を得る。さらに $- 1 ≦ h ≦ 1$ が円の上半分に対応することを端点と $y$ 座標で確認し、直線 $y = 1$ との間の面積を半円の面積として求める。

解答

(1)

直線 $l$ は、点 $(0, 1)$ を通り傾きが $h$ であるから $y = h x + 1$ すなわち $h x - y + 1 = 0$ である。

点 $P (a, b)$ から直線 $l$ へ下ろした垂線の足を $M$ とする。直線 $h x - y + 1 = 0$ の法線方向のベクトルは $(h, - 1)$ であるから、実数 $λ$ を用いて $M = (a, b) - λ (h, - 1) = (a - λh, b + λ)$ と書ける。 $M$ が直線 $l$ 上にある条件は $h (a - λh) - (b + λ) + 1 = 0$ であり、これより $λ = \frac{ha - b + 1}{h ^{2} + 1}$ を得る。 $P$ と対称な点 $Q (s, t)$ については、 $M$ が $P Q$ の中点である。したがって $Q = 2 M - P = P - 2 λ (h, - 1)$ である。よって

s = a - \frac{2 h ( ha - b + 1 )}{h ^{2} + 1}, t = b + \frac{2 ( ha - b + 1 )}{h ^{2} + 1}

である。

(2)

原点 $O (0, 0)$ の対称点を $A$ とする。(1)で $a = b = 0$ とおくと $A = (- \frac{2 h}{h ^{2} + 1}, \frac{2}{h ^{2} + 1})$ である。したがって

O A^{2} = (- \frac{2 h}{h ^{2} + 1})^{2} + (\frac{2}{h ^{2} + 1})^{2} = \frac{4 ( h ^{2} + 1 )}{( h ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{4}{h ^{2} + 1}

であり、 $O A = \frac{2}{h ^{2} + 1}$ である。 $- 1 ≦ h ≦ 1$ では $h^{2}$ は $0 ≦ h^{2} ≦ 1$ を動く。したがって $h^{2} + 1$ が最小となる $h = 0$ で $O A$ は最大、 $h^{2} + 1$ が最大となる $h = \pm 1$ で $O A$ は最小である。よって $O A_{m a x} = 2, O A_{m i n} = 2$ である。

(3)

$A = (x, y)$ とおく。(2)より $x = - \frac{2 h}{h ^{2} + 1}, y = \frac{2}{h ^{2} + 1}$ である。すると $y - 1 = \frac{2}{h ^{2} + 1} - 1 = \frac{1 - h ^{2}}{h ^{2} + 1}$ であり、 $x^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{4 h ^{2} + ( 1 - h ^{2} ) ^{2}}{( h ^{2} + 1 ) ^{2}} = 1$ となる。したがって $A$ は中心 $(0, 1)$ 、半径1の円上にある。

さらに $- 1 ≦ h ≦ 1$ では $y = \frac{2}{h ^{2} + 1} ≧ 1$ である。端点は

h = - 1 \Rightarrow A = (1, 1), h = 0 \Rightarrow A = (0, 2), h = 1 \Rightarrow A = (- 1, 1)

であるから、軌跡 $C$ は円 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ の上半分である。

したがって $C$ と直線 $y = 1$ で囲まれる図形は半径1の半円であり、その面積は $\frac{π}{2}$ である。

別解。(2),(3)は幾何的にも見られる。直線 $l$ は常に点 $F = (0, 1)$ を通る。原点 $O$ を $l$ で反射した点が $A$ なので、反射は距離を保ち、 $F$ は $l$ 上にあることから $F A = F O = 1$ である。よって $A$ は中心 $F$ 、半径1の円上にある。また $h = 0$ のとき $A = (0, 2)$ 、 $h = \pm 1$ のとき $A = (\mp 1, 1)$ であり、 $- 1 ≦ h ≦ 1$ では上半円だけを動く。したがって面積は同じく $π /2$ である。

名古屋大学 2012年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2012年度
文系数学第1問