問題
箱の中に赤球が3個，白球が2個入っている．箱から球を1個ずつ取り出してその色を見ることを繰り返し，先に赤球が3回出れば赤の勝ち，白球が2回出れば白の勝ちとする．次のそれぞれの場合に赤が勝つ確率を求めよ．
(1) 取り出した球は箱に戻さずに続ける．
(2) 取り出した球はつねに箱に戻す．
(3) 取り出した球が赤なら戻し，白なら戻さない．
方針
赤が勝つとは，白が2回出る前に赤が3回出ることである。(1)は戻さないので，5個の球の出る順番を先に並べたものとして考えると，最後に残る球の色だけで勝敗が決まる。(2)は毎回独立で，赤3回目が出るまでに白が0回または1回だけ出る場合を数える。(3)は白が出ると白球の数だけが減るため，白が出る位置ごとにその後の赤の確率がへ変わることを丁寧に掛け合わせる。
解答
(1)
取り出した球を戻さない場合，5個の球が出る順番をあらかじめ一列に並べておいたと考えてよい。赤球は3個，白球は2個である。
赤が勝つのは，3個目の赤が出る時点が2個目の白が出る時点より早い場合である。これは，最後に残る球が白である場合と同じである。なぜなら，最後が白ならその前に赤3個がすべて出ており，最後が赤ならその前に白2個がすでに出ているからである。
最後の球が白である確率は である。したがって求める確率は である。
(2)
取り出した球をつねに戻すので，各回で赤が出る確率は，白が出る確率はで変わらない。
赤が勝つ場合，赤3回目が出るまでに白は0回または1回だけ出る。白が0回の場合は である。
白が1回の場合は，最初の3回のうちどこか1回が白で，4回目に赤3回目が出る。白の位置は3通りなので である。よって求める確率は
である。
(3)
赤は戻し，白は戻さない。赤が勝つには，やはり赤3回目までに白が0回または1回だけ出ればよい。
白が0回の場合，赤が3回続くので である。
白が1回だけ出る場合を，白の位置で分ける。最初に白が出ると，その後は赤3個，白1個なので，続く3回が赤である確率は である。2回目に白が出る場合は である。3回目に白が出る場合は である。
したがって求める確率は
である。通分すると
である。