名古屋大学 1994年度
文系数学 第2問

解答

$P$の$x$座標を$p$とする。$P$は直線$x+y+1=0$上にあるので，$P=(p,-p-1)$ である。

放物線$y=x^2$の$x=u$における接線は $y=2ux-u^2$ であり，$x=v$における接線は $y=2vx-v^2$ である。2つの接線の交点では $2ux-u^2=2vx-v^2$ であるから，$u\ne v$として $x=\frac{u+v}{2}$ である。このとき$y=uv$となるので，交点は $\left(\frac{u+v}{2},uv\right)$ である。

したがって $u+v=2p,uv=-p-1$ である。

次に面積を求める。$u<v$としてよい。2接線の交点の$x$座標は$(u+v)/2$である。$u\leqq x\leqq (u+v)/2$では上側が接線$y=2ux-u^2$，下側が放物線$y=x^2$であり，差は $x^2-(2ux-u^2)=(x-u{)}^2$ の符号を反対に見た面積であるから，面積部分は$(x-u{)}^2$を積分すればよい。同様に右側では$(x-v{)}^2$を積分する。よって $S={\int }_u^{(u+v)/2}(x-u{)}^{2}dx+{\int }_{(u+v)/2}^v(x-v{)}^{2}dx$ である。ここで

なので $S=\frac{(v-u{)}^3}{12}$ である。

また $(v-u{)}^2=(u+v{)}^2-4uv=(2p{)}^2-4(-p-1)=4(p^2+p+1)$ である。$v-u>0$より $v-u=2\sqrt{p^2+p+1}$ となるから $\boxed{S=\frac{2}{3}(p^2+p+1{)}^{3/2}}$ である。 $p^2+p+1=(p+1/2{)}^2+3/4$なので，$S$が最小になるのは$p^2+p+1$が最小になるときである。したがって $\boxed{p=-\frac{1}{2}}$ である。

別解。接点差だけを先に見ることもできる。接線の交点の$x$座標は2接点の平均であるから，$u+v=2p$である。また交点が直線上にあることから$uv=-p-1$である。よって接点間の差は $|u-v|=2\sqrt{p^2+p+1}$ で決まる。放物線と2接線で囲まれる面積は接点間の横幅の3乗に比例し，実際に$u=0$，$v=d$へ平行移動して計算すると$d^3/12$である。したがって同じく$S=2(p^2+p+1{)}^{3/2}/3$となる。