問題
実数の集合をによって定める．集合の共通部分が空集合でない最大のを求めよ．
出典：名古屋大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
まず から がわかる。したがって各条件 は区間 と同値である。共通部分が空でないかどうかは、下端の最大値が上端の最小値より小さいかで決まる。 から までは下端最大が 、上端最小が で、大小比較により交わる。 まで入れると上端 が より小さくなり、空になる。
解答
まず であるから、共通部分を考えるときは必ず である。したがって、正の整数 について は と同値である。
よって が空でないためには、区間 が共通部分を持てばよい。
まず まで調べる。下端は である。ここで は、両辺を6乗して となることから成り立つ。したがって下端の最大は である。
一方、上端は である。この中で最小は である。実際、 は から成り立ち、また も明らかである。
さらに である。これは両辺を12乗して すなわち となることからわかる。したがって は空ではない。
次に まで入れる。下端の最大は少なくとも であり、上端の最小は高々 である。ところが が成り立つ。両辺を15乗すると すなわち である。
したがって は空である。これ以後、集合をさらに加えても共通部分が再び空でなくなることはない。よって求める最大の は である。