名古屋大学 1991年度
文系数学 第2問

解答

(1)

放物線 $y=x^2$ の $x=u$ における接線は $y=2ux-u^2$ である。この接線が点 $A(a,b)$ を通る条件は $b=2au-u^2$ であり、整理すると $u^2-2au+b=0$ である。条件 $a^2>b$ より、この2次方程式は異なる2つの実数解を持つ。その解は $u=a\pm \sqrt{a^2-b}$ である。

ここで $D=a^2-b>0$ とおく。接点 $P,Q$ の $x$ 座標は $a-\sqrt{D}$、$a+\sqrt{D}$ である。2点を結ぶ弦の方程式は、放物線上の2点 $x=u_1,u_2$ を結ぶ弦が $y=(u_1+u_2)x-u_1{u}_2$ であることから $y=2ax-b$ である。

弧 $PQ$ 上の点を $R=(x,x^2)$ とおく。ただし $a-\sqrt{D}\leqq x\leqq a+\sqrt{D}$ である。弦と放物線の縦の差は $(2ax-b)-x^2=D-(x-a{)}^2$ である。三角形 $PQR$ の底辺 $PQ$ は固定されているので、面積を最大にするには、$R$ から直線 $PQ$ までの距離を最大にすればよい。この距離は上の縦の差を $\sqrt{1+4a^2}$ で割ったものなので、最大となるのは $x=a$ のときである。

したがって $\boxed{R=(a,a^2)}$ である。

(2)

接点の $x$ 座標の差は $2\sqrt{D}$ であり、弦 $PQ$ の傾きは $2a$ である。よって底辺の長さは $|PQ|=2\sqrt{D}\sqrt{1+4a^2}$ である。

また、$R=(a,a^2)$ における弦と放物線の縦の差は $(2a^2-b)-a^2=a^2-b=D$ である。したがって $R$ から直線 $PQ$ までの距離は $\frac{D}{\sqrt{1+4a^2}}$ である。ゆえに

となる。すなわち $\boxed{S=(a^2-b{)}^{3/2}}$ である。

別解。面積だけなら、弦を水平線に直す変換でさらに見通せる。座標を $X=x-a,Y=y-(2ax-b)$ とおく。この変換は平行移動と縦方向のせん断なので面積を保つ。弦 $PQ$ は $Y=0$ になり、放物線は $Y=x^2-2ax+b=(x-a{)}^2-D=X^2-D$ になる。したがって接点は $(-\sqrt{D},0),(\sqrt{D},0)$ に移り、面積を最大にする点は放物線の頂点 $(0,-D)$ である。よって三角形の底辺は $2\sqrt{D}$、高さは $D$ なので $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{D}\cdot D=D^{3/2}$ と同じ結果を得る。