問題
空間で，平面上の原点を中心とし半径が1の円をとする．2点，を結ぶ線分上に点をとり，を頂点とし円を底面とする円錐を考え，をからまで動かすとき，このような円錐全体でつくられる立体をとする．
(1) 平面 でこの立体を切った切り口の面積を求めよ．
(2) 立体の体積を求めよ．
出典：名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
頂点を とし、平面 による一つの円錐の断面を相似で求める。高さ の断面は半径 の円板で、その中心は にある。 を から まで動かすと、中心が長さ の線分上を動く円板の和集合、つまり長方形に二つの半円を付けた形になる。断面積を積分して体積を出す。
解答
(1)
点 を とおく。底面の円板上の点を とすると、 である。円錐の内部の点は、底面の点と頂点 を結ぶ線分上にあるので、高さ の点は と表される。したがって、固定した に対する断面は、平面 上で中心 、半径 の円板である。
ここで が を動くから、中心 は という長さ の線分上を動く。よって断面は、半径 の円板をこの線分に沿って動かした和集合である。これは、長さ 、幅 の長方形に、半径 の半円を左右に一つずつ付けた形である。
したがって切り口の面積 は である。
(2)
体積は断面積を から まで積分すればよい。したがって
である。